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Re: groupe topologique - 10 years ago
Merci Magnolia pour ce message. Est-ce que sur les autres sites on suppose dès le départ que la loi est associative ?by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 10 years ago
Tout est dans le fil même si j'ai encore quelques doutes sur la démo de la commutativité...by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Salut JLT. Je viens de relire ta démo sur la commutativité et il me semble y avoir un problème puisque ton $y$ dépend de $x$... Voilà ce que j'arrive à montrer. Soit $x>e$ et $(u_n)$ la suite réelle définie par $u_0=x$ et ${u_{n+1}}^2=u_n$ pour tout $n \in \mathbb N$. Alors $(u_n)$ est strictement décroissante vers $e$ et, pour tout $n \in \mathbb N$, $xu_n=u_nx$. Je pense quby gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
J'avais essayé avec $\left(-\pi,\pi,\displaystyle{-\frac{\pi} {2}}\right)$...:)-D. Je rajoute donc l'associativité pour la loi $*$. Merci pour tout JLT ;)by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
J'ai testé ta loi interne avec $h: x \mapsto \displaystyle{\frac {\cos x} {2}}$ et il semble y avoir associativité...by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Bonjour JLT. Il me semble que pour cette loi, tout réel est régulier ssi $h$ est constante ssi $*=+$. Or, $+$ est associative...by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Pas d'élément neutre pour cette loi. Par surjectivité de $\ell_x$, on peut trouver un réel $a$ tel que $(x*y)*z=x*a$. D'où $a=x^{-1}*(x*y)*z$ et $y^{-1}*a=z$ puis $a=y*z$ cqfd.by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Ok! Comme $i(z)<x$, on a bien une contradiction... Je vais regarder du côté de l'associativité dès que bébé sera couchéby gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
$z \mapsto i(z)$ est-elle monotone ? Au pire, on peut passer par $\liminf$ et $\limsup$...by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Merci beaucoup pour ces idées. Pour le 2), $x*z>e$ si $z<e$ donc $i(z)<x$ et je ne vois pas comment $i(z) \rightarrow +\infty$ quand $z \rightarrow -\infty$. Ceci dit, si on justifie cette limite, on a immédiatement une contradiction. De plus, pour montrer que $(\mathbb{R},*)$ est un groupe, il faut aussi montrer que la loi $*$ est associative...by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
J'ai une démo pour la stricte croissance. Si $y<z$, $(r_y-r_z)(e)<0$. Comme $r_y-r_z$ est continue et ne s'annule jamais, elle est donc strictement négative et $r_y(x)<r_z(x)$ ce qui prouve que $\ell_x$ est strictement croissante. Même chose pour $r_x$.by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Si $x>e$, $\ell_x(y)>y$ pour tout $y$ et $\ell_x$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$. Mais quid de la limite en $-\infty$ ?by gai requin - Algèbre
Re: groupe topologique - 11 years ago
Je bloque sur la surjectivité. Je n'arrive à calculer qu'une seule des limites en l'infini et je ne vois pas d'autres arguments que le théorème des valeurs intermédiaires.by gai requin - Algèbre
groupe topologique - 11 years ago
Soit $(x,y) \mapsto x*y$ une loi de composition interne sur $\mathbb{R}$ possédant un élément neutre $e$ et telle que tout réel soit régulier pour cette loi. Si $x \in \mathbb{R}$, on note $\ell_x$ et $r_x$ les applications de $\mathbb{R}$ dans lui -même définies par $\ell_x(y)=x*y$ et $r_x(y)=y*x$. On suppose que $ f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y) \mapsto x*y$ est continue. aby gai requin - Algèbre
Re: parties d'un anneau - 11 years ago
Effectivement. De manière générale, si $T\not \subset \cal{D}(S)$, choisissons $t \in T$ avec $t \notin \cal{D}(S)$. Soit $s \in S$. Alors $t+s \notin S$ donc $t+s \in T$. D'où $S \subset \cal{D}(T)$. On a donc toujours $T \subset \cal{D}(S)$ ou $S \subset \cal{D}(T)$. Supposons maintenant qu'il existe $x \in S \cap T$. Pour $P \subset A$, notons $P'=\left \{ p-x;p \in P \rigby gai requin - Algèbre
parties d'un anneau - 11 years ago
Soit $A$ un anneau. Pour un partie $P$ non vide de $A$, on note $\cal{D}(P)$ l'ensemble des $x-y$, où $x,y \in P$. On suppose qu'il existe deux parties $S$ et $T$ non vides de $A$ telles que $A=S \cup T$ et telles que $S \cap T \neq \emptyset$. Montrer que $A=\cal{D}(S)$ ou que $A=\cal{D}(T)$.by gai requin - Algèbre
Re: Conjecture de Sierpinski - 11 years ago
Supposons que $n=5n'+1$ avec $n' \ge 1$. Si on arrive à prouver qu'il existe $a \ge 1$ tel que soit $5a-1$, soit $5a-2$, soit $5a-3$ divise $n(n'+a)$, alors c'est gagné car : $$\frac{5}{n}=\frac{1}{n'+a}+\frac{5a-1}{n(n'+a)}$$. Exemples : pour $n=1261$, on peut choisir $a=3$ pour en déduire que : $$\frac{5}{1261}=\frac{1}{255}+\frac{1}{321555}+\frac{by gai requin - Arithmétique
Re: Conjecture de Sierpinski - 11 years ago
Welcome back blaaang. Que représentent $a,b,c$ et $d$ dans ton dernier post ?by gai requin - Arithmétique
Re: Puissances de 3 en binaire - 11 years ago
Me voilà de retour de we :) En ce qui concerne cette question, elle m'est inspirée d'une discussion dans laquelle tu pris part, Blaaang, à propos de l'équation diophantienne $2^n=p+3^p$. En cherchant à la résoudre avec des outils "élémentaires", je me suis dit que si on arrivait à prouver que $p+3^p$ a au moins deux $1$ (pour $p \geq 2$) dans son écriture binaire, c&#by gai requin - Arithmétique
Re: Puissances de 3 en binaire - 11 years ago
Cet article ne traite-t-il pas plutôt du nombre de chiffres en base $2$ de $3^n$ ?by gai requin - Arithmétique
Puissances de 3 en binaire - 11 years ago
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $u_n$ (resp. $v_n$) le nombre de $1$ (de $0$) dans l'écriture en base $2$ de $3^n$. Montrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac {u_n} {v_n}=1$. Pour (peut-être) clore une autre discussion, si $p \in \mathbb{N}$, que penser du nombre de $1$ de $p+3^p$ en binaire ?by gai requin - Arithmétique
Re: Conjecture de Sierpinski - 11 years ago
Pour la question initiale, notons $n=5n'+r$ avec $r \in \left\{0,1,2,3,4 \right\}$. Alors $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{n'+1}+\frac{5-r}{n(n'+1)}$. Ta conjecture est donc prouvée pour $n \not \equiv 1 [5]$...by gai requin - Arithmétique
Re: Conjecture de Sierpinski - 11 years ago
Si $n=5n'$, $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}+\frac{1}{4n'}$ : OK Si $n$ est pair, $\displaystyle \frac{5}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{\frac{n}{2}}$ : OK Reste à voir les autres cas...by gai requin - Arithmétique
Re: 2^n = p+3^p - 11 years ago
On a donc $r<q$ avec $(2^q-2^r)(p+3^p) \equiv 0 \pmod p$ . Soit alors $d= \mathrm{pgcd} (2^q-2^r,p)$. On a $\dfrac{2^q-2^r}{d}(p+3^p)\equiv 0 \pmod{\dfrac{p}{d}}$. D'après le théorème de Gauss ;), $\dfrac{p}{d}$ divise $p+3^p=2^n$. Comme $\dfrac{p}{d}$ est impair, $p=d$ donc $p$ divise $2^q-2^r$. En particulier, $q-r$ est un multiple de l'ordre de $2$ dans $ \left (\dfrac{\mathbby gai requin - Arithmétique
Re: 2^n = p+3^p - 11 years ago
Attention, dans cette équation, $p$ n'est pas nécessairement premier donc il faut vraiment utiliser le principe des tiroirs pour trouver $r<q$ avec $2^r(p+3^p) \equiv 2^q(p+3^p) \pmod p$ . Pour le reste, tu as raison : rien n'empêche $p$ de diviser $2^q-2^r$... Je vais essayer de compléter ma preuve :Sby gai requin - Arithmétique
Re: 2^n = p+3^p - 11 years ago
Soit $p\geqslant 3$ un entier impair et $n$ un entier naturel tel que $2^n=p+3^p$. On connaît donc $n+1$ diviseurs distincts de $p+3^p$, à savoir $1,2,...,2^n$. Comme $n>p$, on peut donc trouver des entiers $r<q$ pour lesquels $2^r(p+3^p) \equiv 2^q(p+3^p) \pmod p$ . Ainsi, d'après le théorème de Gauss, $p+3^p \equiv 0 \pmod p$ et donc $p$ divise $2^n$ ce qui est impossible.by gai requin - Arithmétique
Re: Une congruence intéressante - 11 years ago
C'est vrai que l'arithmétique est magique. Et quelle est ta formation ?by gai requin - Arithmétique
Re: Une congruence intéressante - 11 years ago
Bravo. Un peu spécialiste en arithmétique ?by gai requin - Arithmétique
Re: Une congruence intéressante - 11 years ago
Merci pour tes recherches. Cet exercice m'a été donné par un ami qui séchait dessus et je ne sais pas où il l'avait pêché.by gai requin - Arithmétique