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Re: somme alternée de racines de l'unité - 10 years ago
Merci beaucoup pour cette indication. Je n'aurais jamais pensé aux sommes de Gauss que je ne connais pasby gai requin - Algèbre
somme alternée de racines de l'unité - 10 years ago
Bonjour à tous. Je bloque sur la question suivante. Soit $p$ un nombre premier impair. Soit $\epsilon$ l'homomorphisme de groupes de $\mathbb{F}_p^*$ dans $\{-1;1\}$ tel que $\epsilon (\zeta)=-1$ pour tout générateur $\zeta$ de $\mathbb{F}_p^*$. Soit $g=\displaystyle{\sum_{\ell=1}^{p-1}}\epsilon(\ell)e^{2i \pi \ell/p}$. Calculer $g^2$. Après quelques tests maple, il semblerait que $gby gai requin - Algèbre
Re: Réflexions sur le nouveau programme - 10 years ago
Le problème, c'est jusqu'à quel niveau les maths restent-elles essentiellement une affaire calculatoire ? math sup, math spé, L1, L2, L3 voire au-delà ? Alors qu'on n'initie plus vraiment nos élèves à la démonstration, si en plus on ne les forme plus aux techniques de calcul, que se passe-t-il ? Et bien, par exemple, on demande explicitement aux collègues de physique d'by gai requin - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: géométrie avant et après le bac - 10 years ago
Au même problème qui touche ceux qui, faute de pratique, commettent subitement des erreurs de calcul élémentaires ?by gai requin - Géométrie
Re: géométrie avant et après le bac - 10 years ago
Il ne s'agit pas non plus de confiner les qualités mathématiques des uns et des autres à la géométrie seule! On peut donner aussi quelques crédits à un expert en théorie de Galois différentielle...même s'il est ignare de la dualité en géométrie projective.by gai requin - Géométrie
Re: géométrie avant et après le bac - 10 years ago
En faisant disparaître algèbre puis géométrie des programmes de lycée, cela implique clairement que les élèves font de moins en moins de démonstrations (abstraites ou pas). On a fait passer la pilule en inventant la question ROC (restitution organisée des connaissances) pour les candidats au bac S, question où il s'agit de reproduire une démo du programme d'analyse (en général) en étantby gai requin - Géométrie
Re: Faut-il faire appliquer les règles ? - 10 years ago
@JLT Il me semble que notre discussion sur les programmes de lycée et leur extension dans le supérieur a été trop vite interrompue... Je suis donc intéressé pour en rediscuter sur un autre fil.by gai requin - Mathématiques et Société
Re: Démonstration par récurrence - 10 years ago
@capesard_nl Pour un exemple de récurrence forte, voilà un petit exercice qui, je crois, est classique. Soit $k$,$E$ et $F$ des sous-corps de $K$ tels que $k \subset E$ et $k \subset F$ sont finies. Soit $G$ le sous-corps de $K$ engendré par $E$ et $F$. Montrer que $k \subset G$ est finie avec $ \leq \times $.by gai requin - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Démonstration par récurrence - 10 years ago
@jacquot Dans ton paradoxe, comment exactement montres-tu que $P(1) \Rightarrow P(2)$ ?by gai requin - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Il me semblait parler de droites concourantes...by gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
J'ai en fait posé deux questions...by gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Pour ma part, j'essaie de construire sans trop de calculs un triangle dont on connaît seulement les trois hauteurs et aussi le segment joignant deux points alors qu'on ne dispose que d'une règle de longueur finie. Je sens la fibre géométrique renaître en moi grâce à ce fil!!! Merci à tous.by gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Le 1) n'est pas vrai : un élève de TS a 6 heures de maths par semaine +2 heures s'il est "spécialiste". Pour le reste, j'ai crois plutôt qu'on a d'abord fait disparaître assez brutalement l'algèbre des programmes (au moment de la disparition des terminales C,D et E) puis plus progressivement la géométrie. Comme il faut quand même avoir un programme, onby gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Et comment expliques-tu la disparition quasi-totale de l'algèbre des programmes du lycée alors que, pour le coup, les concepteurs desdits programmes ont quand même du recevoir une formation conséquente en algèbre ?by gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Les enseignements à la fac sont-ils autant subordonnés aux programmes des concours de l'enseignement ?by gai requin - Géométrie
Re: Droites concourantes 5 - 10 years ago
Dans tous les cas, au lycée, ont disparu des programmes ces dernières années : 1) Les barycentres, les transformations du plan et les démonstrations qui utilisent l'outil vectoriel. Dorénavant, on se place dans un repère du plan ou de l'espace et on calcule (mal). 2) Les derniers reliquats d'algèbre qu'on pouvait trouver dans quelques questions de dénombrement. Les élèvesby gai requin - Géométrie
Re: Réflexions sur le nouveau programme - 10 years ago
L'algorithmique, c'est un peu l'arbre qui cache la forêt. La vraie nouveauté, c'est que les probabilités représentent maintenant un tiers du programme en S et que, à ce niveau-là, on ne peut rien démontrer en statistiques inférentielles par exemple. Bon, on leur demande quand même d'apprendre par cœur des intervalles de confiance :)-Dby gai requin - Pédagogie, enseignement, orientation
Re: racines de l'unité - 10 years ago
En fait, si cette demo est correcte, $|U_n(k)|=pgcd(q-1,n)$ en général...by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
On suppose que $d$ est impair et n'est pas de la forme $2^r-1$ et que $n$ est pair. Soit $r$ l'ordre de $2$ dans $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^*$ et $k=\mathbb{F}_q$ avec $q=2^r$. On suppose que $pgcd(q-1,n)=d$. Comme $|U_n(k)|$ divise $n$ et $q-1$, il divise $d$. Or, $k^*$ est cyclique et possède donc un élément $x$ d'ordre $q-1$. En particulier, $x^{\frac {q-1} {d}}$ est d'by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
En tout cas, ça marche pour tous les cas étudiés précédemment ($d=2^r-1$ et $d=5$). Remarque : si $k$ est de caractéristique $0$, on peut montrer que $U_n(k)$ est d'ordre au moins $2d$.by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
Peut-on généraliser ce résultat à tous entiers naturels $d$ impair et $n$ pair avec $d$ ne s'écrivant pas $2^r-1$ ? (si c'est vrai, je veux bien essayer de le prouver)by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
Donc peut-être que, pour $n$ pair, $(5,n) \in E$ ssi $n$ est un multiple de $5$ sans être multiple de $15$ ?by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
Dans tout raisonnement, pourquoi $k$ ne pourrait-il pas être de caractéristique $7$ ? Quand tu parles de racines de l'unité, j'ai l'impression qu'elles sont implicitement primitives.by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
Oui pour $(5,10)$ :) $p$ n'existe pas si $d$ est impair et $n$ pair (le cas qui pose problème...). Et penses-tu que $(5,30) \in E$ ?by gai requin - Algèbre
Re: racines de l'unité - 10 years ago
En fait, j'ai l'intime conviction que la réciproque est vraie...by gai requin - Algèbre
racines de l'unité - 10 years ago
Bonjour à tous. Voilà une question qui me paraît intéressante. Si $k$ est un corps, on désigne par $U_n(k)$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$. Soit également $E$ l'ensemble des $(d,n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tels que : (i) $d$ divise $n$. (ii) il existe un corps $k$ tel que $U_n(k)$ est d'ordre $d$. Si $d$ divise $n$, j'arrive à montrer que : $(dby gai requin - Algèbre
Re: corrigé sujets anciens agreg externe - 10 years ago
Yoccoz a fini 1er ex aequo à l'agreg 77 à seulement 20 ans (cf Yoccoz_bio).by gai requin - Concours et Examens
Re: Fermeture algébrique d'une intersection - 10 years ago
Pourtant, le polynôme $Y^{2^{i}}-X^{2^{i}}$ de $K_{i}$ s'annule en $X$...by gai requin - Algèbre