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Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
de l'arrêt du fil Homographies... Au tout début , on travaillait la correspondance entre les corps de fonctions du type $k(x)$ (donc de l'algèbre) et les revêtements $\mathbb P^1(k)\to\mathbb P^1(k)$ (donc de la géométrie) (voir ). Et puis on s'est amusés 80 pages sur tout et n'importe quoiby gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Oui, et peut-être que les Douady expliquent ces connexions entre groupe fondamental et groupe de Galois. Tu m'as en tout cas donné envie d'explorer leur livre plus sérieusement. Ceci dit, avec Claude Quitté et flipflop, on avait pas mal regardé certains aspects géométriques de la théorie de Galois dansby gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
J'ai regardé la page wikipedia Il y a une référence que je possède "Algèbre et théories galoisiennes" des Douady qui démontrent ce théorème ! Mais bon, je ne sais rien en topologie algébrique. Et toi ?by gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Si on était moins flemmards, on traiterait des exemplesby gai requin - Algèbre
Re: Polynômes à coefficients entiers - 1 year ago
Avec tes notations, $\sqrt 2\mapsto -\delta_1\sqrt 2$, $\sqrt 3\mapsto -\delta_2\sqrt 3$ donc $\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 6\mapsto -\delta_1\sqrt2-\delta_2\sqrt 3+\delta_1\delta_2\sqrt 6$. Le facteur correspondant à ce conjugué est $X+\delta_1\sqrt 2+\delta_2\sqrt3-\delta_1\delta_2\sqrt 6$.by gai requin - Arithmétique
Re: Polynômes à coefficients entiers - 1 year ago
@Poirot : $\delta_3=-\delta_1\delta_2$. @Kolakoski : Tu as trouvé le polynôme de degré minimal !by gai requin - Arithmétique
Re: Demande exos : coniques - 1 year ago
Il y a tout ce qu'il faut savoir sur les coniques dans qui n'est pas épuisé à un prix raisonnable.by gai requin - Géométrie
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Salut Raoul, Il faut quand même montrer que tous ces isomorphismes passent bien au produit fibré, à savoir que $$\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\times_{\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)}\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(P_1/k)\times_{\mathrm{Gal}(D_k(P_1)\cap D_k(P_2)/k)}\mathrm{Gal}(P_2/k).$$De la gauche vers la droite, $f:(\sigma_1,\sigma_2)\mapsto (\sigma_1|K(\alpha),\sigma_2by gai requin - Algèbre
Re: Algèbres de type fini - 1 year ago
$A$ est la plus petite $A$-algèbre contenant les $x_i$ donc on a $A\subset B$. Comme les $x_i$ engendrent $B$, on a aussi $B\subset A$.by gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Bien joué Raoul J'en rajoute une couche Dans le cas général où l'on ne suppose rien sur $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)$, on a d'après mon dernier message:$$\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\times_{\mathrm{Gal}(KL(\alpha)\cap KL(\beta)/KL)}\mathrm{Gal}(KL(\beta)/KL).$$On a déjà vu que $\mathrm{Gal}(KL(\alpha)/KL)\simeq\mathrm{Gal}(P_1/k)$ et $\mathrm{Gal}(KL(\betby gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Salut Raoul, J'ai appris plein de trucs sur les extensions non séparables et leur groupe de Galois... 1) J'utilise ici le document "Galois.pdf" qu'on trouve . Soit $P\in k$ et $G=\mathrm{Gal}(P/k)$. D'après le théorème 3.4.2 p.35 et le théorème de l'élément primitif, il existe une extension $K$ de $k$ purement inséparable et $\alpha\in D_k(P)$ tels que $by gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Tu as parfaitement raison Raoul, j'ai fait une erreur de débutant sur le lien entre multiplicité d'une racine et dérivées successives en caractéristique non nulle ! Et merci pour ton joli exemple Il faut que je comprenne un peu mieux les groupes de Galois des extensions non séparablesby gai requin - Algèbre
Re: Réduction de Jordan et Dunford - 1 year ago
C'est plus sympa de tenter Dunford avec $A=\begin{pmatrix}0&0&4\\1&0&-8\\0&1&5\end{pmatrix}$.by gai requin - Algèbre
Re: Groupe de Galois d'un produit de polynômes - 1 year ago
Salut Raoul, Et bien je pense que dès que $D_k(P_1)\cap D_k(P_2)=k$, on a $\mathrm{Gal}(P_1P_2/k)\simeq \mathrm{Gal}(P_1/k)\times\mathrm{Gal}(P_2/k)$ ! Preuve : Ce résultat est vrai en caractéristique nulle donc on peut supposer $p=\mathrm{car}(k)>0$. Pour $i=1,2$, il existe $Q_i,R_i\in k$ tels que $Q_i$ est séparable et $P_i$ et $Q_i(X)R_i(X^p)$ ont les mêmes racines. Si $\alpha_i$ eby gai requin - Algèbre
Re: Polynôme pair - 1 year ago
C'est surtout plus facile, puisqu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(X)=Q(X^2)$...by gai requin - Algèbre
Re: Polynôme pair - 1 year ago
Cela fonctionne mais il paraît difficile de trouver des formules pour les coefficients de $Q$ ! Sur l'exemple suivant, Maple trouve les valeurs exactes de $a,b,c$ mais elles sont imbuvables donc j'ai pris des valeurs approchées à $25$ chiffres ! > P := 2*x^6-15*x^4+24*x^2-1 : > fsolve(P) ; -2.284538454, -1.496020968, -.2068944539, .2068944539, 1.496020968, 2.284538454 >by gai requin - Algèbre
Re: Polynôme pair - 1 year ago
Soit $P$ ton polynôme et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines positives. Alors $Q(X)=(X-x_1)\cdots(X-x_n)$ convient. Mais $(-1)^na_{2n}Q(X)Q(-X)=P(X)$. On identifie, on trouve $2^n$ solutions pour $Q$ (si $P$ est séparable) et on prend celle dont les coefficients ont des signes qui alternent.by gai requin - Algèbre
Re: Problème technique messages privés - 1 year ago
C'est le piège, il faut cocher "Garder une copie de mes éléments envoyés" à chaque fois que tu veux conserver un message dont tu es l'expéditeur. J'oublie de cocher une fois sur deux !by gai requin - Vie du Forum et de ses membres
Re: Comment on devient un génie en maths - 1 year ago
@etanche : Le 1) p.218 est pas mal, le petit Tao ne l'avait pas trouvéby gai requin - Mathématiques et Société
Re: Fonction à trouver - 1 year ago
Exact, je me suis mélangé les pinceaux ! Pour me faire pardonner, je tente une preuve du fait que si le réel $t$ admet des antécédents $x_1<x_2<\ldots<x_{2n}$ en nombre pair par $f:\R\to\R$ continue et surjective, alors c'est un extremum local strict. 1) Si $n=1$, quitte à changer $f-t$ en $t-f$, on peut supposer $f-t>0$ sur $]x_1,x_2[$. Si $t$ n'est pas un extremum lby gai requin - Analyse
Re: Fonction à trouver - 1 year ago
@sol : Il y a quand même un problème quand $f$ est constante sur un intervalle de cardinal infini. Mais tout ce que tu as dit est valable si on remplace "local" par "local strict", ce qui suffit dans le cadre de la question posée par JLT.by gai requin - Analyse
Re: Fractions inverses - 1 year ago
Et oui, les asymptotes de ton hyperbole $\cal H$ ont pour équation $ax+c=0$ et $ay+b=0$ donc la fonction $\cal H\to\R$, $(x,y)\mapsto (ax+c)(ay+b)$ est constante.by gai requin - Arithmétique
Re: Petite question - 1 year ago
Peut-être qu'on savait dans les années 60 que la norme dans $\mathbb Z[\sqrt 2]$ est multiplicative. Après tout, on peut faire les calculs en 3ème. Et alors l'exercice devient trivial...by gai requin - Analyse
Re: Fractions inverses - 1 year ago
@marco : Tu as oublié des solutions et on peut faire cet exercice sans connaître de paramétrisation rationnelle de la conique projective dont tu parles.by gai requin - Arithmétique
Re: Fractions inverses - 1 year ago
@Rescassol : Tiens, une surface cubique de $\mathbb P^3(\Q)$. Quels sont ses points rationnels ? Très bonne questionby gai requin - Arithmétique