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Re: A propos de $\zeta$ - 5 years ago
En effet, il n'y a pas d'incohérence. Remarquons toutefois que s'il s'agissait de prolonger la fonction $\zeta$ définie sur le demi-plan $\Re(s)>1$ en une fonction définie sur la réunion de deux demi-plans $\{s,\ \Re(s)<0\ \text{ou}\ \Re(s)>1\}$, il serait plus économique de poser $\zeta(s)=2$ lorsque $\Re(s)<0$. Ce qui justifie l'usage de la relation fonctby Math Coss - Arithmétique
Re: A propos de $\zeta$ - 5 years ago
En effet, il faut commencer par prolonger $\zeta$ sur le demi-plan $\Re(s)>0$ et montrer que l'équation fonctionnelle est satisfaite dans ce demi-plan. Wikipedia donne deux façons de prolonger : avec la formule sommatoire d'Abel ou avec la fonction $\eta$ de Dirichlet.by Math Coss - Arithmétique
Re: Pythagore généralisé - 5 years ago
Oui : il suffit de projeter le sommet $A$ de l'angle droit sur l'hypoténuse $$. Par des considérations d'angles, les triangles $ABC$, $HBA$ et $HCB$ sont semblables et les deux petits recouvrent le grand. (Sur la figure ci-dessous, j'ai tracé les symétriques.) PS : une référence parmi d'autres.by Math Coss - Géométrie
Re: Sphères du 19.8.2017 - 5 years ago
Ah ! Pardon, je pensais que c'était un défi lancé par un académicien des sciences. Cela dit, je n'arrive pas à adapter la preuve de la relation de Descartes pour 5 sphères de rayon fini. Plus précisément, le code suivant ne répond pas en quelques minutes. Est-ce que le passage de 9 à 15 variables est insurmontable en termes de complexité ? ou est-ce qu'il y a une erreur ? R.&by Math Coss - Géométrie
Re: Sphères du 19.8.2017 - 5 years ago
J'apprends en m'amusant : en repartant du code de GaBuZoMeu, voici en principe une preuve de la relation de Descartes entre les rayons de cinq sphères mutuellement tangentes lorsque l'une d'entre elles est un plan. On reprend $I_1$ et $I_3$ mais on abandonne $I_2$ qui exprime les conditions sur les hauteurs des points de contacts, puis on élimine les variables correspondant auby Math Coss - Géométrie
Re: Sphères du 19.8.2017 - 5 years ago
Ah ! Merci ! En ajoutant le calcul pédestre des rayons : contact = [75,102,117] var('a b c') S = [2*a*b-contact[0]*(a+b),2*b*c-contact[1]*(b+c),2*c*a-contact[2]*(c+a)] sols = solve(S,)[1] R = ] ça donne bien pour le quatrième rayon : $$R_4=\frac{156683475}{730804}-\frac{49725}{730804} \, \sqrt{7005585}\simeq 34.3060772589902$$ et une figure très semblable à la précédente, que jby Math Coss - Géométrie
Re: Sphères du 19.8.2017 - 5 years ago
C'est curieux, je ne suis d'accord avec aucun de vous deux. Voici quatre sphères tangentes deux à deux posées sur un plan. Voici le code : R = [75,102,117] eq = (1/x+sum(1/r for r in R)) ^2 - 3*(sum(1/r^2 for r in R)+1/x^2) rays = (eq*x^2).roots() r4 = rays[0][0] R+= print a = arccos((R[0]*R[1]+R[0]*R[2]-R[1]*R[2])/2/R[0]/sqrt(R[1]*R[2])) d13 = 2*sqrt(R[0]*R[2]) beta =by Math Coss - Géométrie
Re: Infini / fini - 5 years ago
Voici une façon de faire de la resommation. Pour calculer $\sum_{n\ge0}a_n$, on calcule $g(t)=\sum_{n\ge0}a_n\mathrm{e}^{nt}$, on élimine la partie polaire en $t=0$ et on fait $t=0$. Si $a_n=2^n$, on obtient $$g(t)=\left( 1-2\,{{\rm e}^{t}} \right) ^{-1}=-1+2\,t-3\,{t}^{2}+{\frac {13}{3}}{t}^{3}-{\frac {25}{4}}{t}^{4}+{\frac {541}{60}}{t}^{5}+O \left( {t}^{6} \right)$$ d'où une somme égby Math Coss - Analyse
Re: Infini / fini - 5 years ago
NB : Tout se passe dans $\Q$, pas besoin de compléter et d'aller dans $\Q_2$. C'est pareil que quand on calcule $0,\!999999\cdots$ ou $0,\!123123123\cdots$, on n'a pas besoin d'aller dans $\R$ (la convergence des suites étant définie par $\forall\varepsilon\in\Q^{+*},\ \exists n_0\in\N,\dots$).by Math Coss - Analyse
Re: Théorème spectral - 5 years ago
Le manuel explique le format. Pour R, au lieu que $D$ soit une matrice du même format que la matrice de départ, elle est carrée de taille $4\times4$. Ici : $D=\mathrm{diag}(4,3,\sqrt{5},0)$. Pour wikipedia, la matrice $\Sigma$ a le même format que $M$, on l'obtient en ajoutant une colonne de zéros à $D$. On obtiendrait une matrice « $V$ de wikipedia » à partir d'une matrice « $V$by Math Coss - Algèbre
Re: Infini / fini - 5 years ago
Eh bien oui, il n'y a qu'à poser l'addition ! $$\begin{array}{rrrrrr} \scriptsize{\cdots}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\\ \cdots&1&1&1&1&1&1\\&&&&&&1\\\hline \cdots&0&0&0&0&0&0\end{array}$$ Le tout, c'est de se mettre d'accorby Math Coss - Analyse
Re: Théorème spectral - 5 years ago
Ton calcul de ${}^tMM$ n'est pas correct.by Math Coss - Algèbre
Re: "il est facile de" 2 - 5 years ago
L'ensemble des bases de $K^n$ est homéomorphe au groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(K)$. Soit $D:K^*\to\mathrm{GL}_n(K)$ par $\lambda\mapsto\mathrm{diag}(\lambda,1,\dots,1)$. L'application $K^*\times\mathrm{SL}_n(K)\to\mathrm{GL}_n(K)$, $(\lambda,A)\mapsto D(\lambda)A$ doit être un homéomorphisme (application réciproque : $M\mapsto (\det M,M/\det M)$). Si $K$ est connexe, le groupe $\by Math Coss - Fondements et Logique
Re: Matrice rationnelle - 5 years ago
Même (mauvais ?) esprit : $\|M\|^2 = a_{11}^2+\pi a_{12}^2+\pi^2 a_{21}^2+\mathrm{e}a_{22}^2$ (avec des modules si on veut passer sur les complexes).by Math Coss - Algèbre
Re: Matrice rationnelle - 5 years ago
Si $\|\cdot\|$ est une norme, $\pi\|\cdot\|$ en est une autre. Or $\|M\|$ et $\pi\|M\|$ ne sont pas tous deux des nombres algébriques.by Math Coss - Algèbre
Re: Une diophantienne - 5 years ago
En effet ; en revanche, $(-225,-20)$ n'en est pas une (mais je maintiens mon dessin). C'est une faute de frappe de Chaurien, certainement.by Math Coss - Arithmétique
Re: sous-représentation - 5 years ago
Bien que l'intéressé semble se désintéresser de la question, voici le résultat de sa commande.by Math Coss - Algèbre
Re: Une diophantienne - 5 years ago
Tiens, à cause de l'équation de Pell, j'attendais une infinité de solutions. Voici un dessin.by Math Coss - Arithmétique
Re: Mot de passe. - 5 years ago
QuoteÀ bas l'informatique!!! À bas l'obscurantisme !by Math Coss - Vie du Forum et de ses membres
Re: Raisonnement par récurrence - 5 years ago
Ce qui est amusant dans cette histoire de triminos, c'est de transformer la preuve en un programme informatique qui dessine effectivement le pavage.by Math Coss - Arithmétique
Re: sous-representation - 5 years ago
Soit $(W_1,W_2)$ une sous-représentation (avec $W_i\subset V_i$) propre ($\ne (V_1,V_2)$) et non triviale. Si $W_1=0$, alors $W_2=V_2$, ça donne bien une sous-représentation. Si $W_1$ contient un vecteur non nul, son image par $\alpha$ ou $\beta$ n'est pas nulle donc $W_2=V_2$ (car $0<\dim W_2\le1$). Il s'agit donc de choisir une droite $W_1$ dans $V_1$ et de voir quelle est laby Math Coss - Algèbre
Re: Compilation ps-tree - 5 years ago
Cela suggère alors un problème lié à l'installation. Désolé, je ne sais pas.by Math Coss - LaTeX
Re: Compilation ps-tree - 5 years ago
Est-ce que tu essaies de lire de dvi ou le ps ? Avec ton code, le dvi que j'obtiens est blanc mais après passage de dvips, j'obtiens le fichier joint. (Cf. ce manuel (p. 3), où on lit : “It should be noted that the correct result is not guaranteed with every dvips driver.”)by Math Coss - LaTeX
Re: Nombre premiers successifs - 5 years ago
La conjecture de Cramér pronostique un écart en le carré du logarithme ($a=2$).by Math Coss - Arithmétique
Re: Isomorphisme de corps de fractions de groupes - 5 years ago
Pour les groupes de type fini, c'est facile : le groupe $G$ est isomorphe à $\Z^r$ et il est donc caractérisé par son rang $r$, mais alors $k\simeq k$, $k(G)\simeq k(X_1,\dots,X_r)$ et on retrouve $r$ comme le degré de transcendance de $k(G)$ sur $k$. Edit : Mais ça ne résout pas le problème, voir plus bas.by Math Coss - Algèbre
Re: Lien entre $\liminf$ et $\limsup$ - 5 years ago
NB : L'inégalité $\limsup(x_n+y_n)\le \limsup x_n+\limsup y_n$ peut être stricte : tu saurais trouver un exemple ?by Math Coss - Analyse
Re: Suite récurrente non linéaire - 5 years ago
[1.0, 0.12, 0.629629, 0.360144, 0.597083, 0.536235, 0.635673, 0.636709, 0.68235, 0.697359, 0.722954, 0.738597, 0.755789, 0.769216, 0.782105, 0.793192, 0.803433, 0.812592, 0.820995]by Math Coss - Analyse
Re: Lien entre $\liminf$ et $\limsup$ - 5 years ago
Avec un peu plus de mots : $-a\le b$ SSI $-b\le a$ donc $b$ est un majorant de $-A$ SSI $-b$ est un minorant de $A$ ; $b\le b'$ SSI $-b'\le-b$ donc $b$ est le plus petit des majorants de $-A$ SSI $-b$ est le plus grand des minorants de $A$. Autrement dit : $\sup(-A)=-\inf(A)$.by Math Coss - Analyse
Re: Nombre premier de Fibonacci - 5 years ago
Notez que $\left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{p}5\right)$ par réciprocité quadratique, qui ne dépend donc que de $p$ modulo $5$.by Math Coss - Arithmétique