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Se prononce "latek".
Re: Propriété universelle de $\K^{(I)}$ et plus - 11 months ago
Merci, ça éclaire ma compréhension et la naturalité de ce procédé pour $\K^{(I)}$. Le truc qui me manque toutefois c'est quand est-ce qu'on sait qu'un truc sera caractérisable par propriété universelle. Mais là j'imagine que sans catégorie c'est compliqué. Le lien que tu as donné semble donner une réponse, il me reste donc à avancer sur les catégories.by topopot - Algèbre
Re: Propriété universelle de $\K^{(I)}$ et plus - 11 months ago
En fait, je travaille également par ailleurs les catégories, bien que je n'en sois pas encore au stade des propriétés universelles. Même si j'imagine que ça n'est pas l'idéal, j'aimerais savoir si l'on peut répondre à mes questions sans les catégories. Dans un premier temps du moins. D'ailleurs, le cours d'où je tire mes observations n'utilise pas du tby topopot - Algèbre
Propriété universelle de $\K^{(I)}$ et plus - 11 months ago
Souvent, pour ne pas dire toujours, une fois donnée la définition d'un objet algébrique, j'ai du mal à formaliser moi-même (i.e. à deviner avant de le lire) quelle sera la propriété universelle vérifiée par ce dernier. Prenons un exemple : $\K^{(I)}$, l'ensemble des familles à support fini d'éléments de $\K$ et indexées par $I$, où $I$ est un ensemble et $\K$ un corps.by topopot - Algèbre
Re: Autour de la transposée ${}^tu$ - 11 months ago
Oui, modulo les identifications entre les duaux et le biduaux. Je me demande en fait si l'on peut dire certains trucs un peu plus avancés.by topopot - Algèbre
Re: Autour de la transposée ${}^tu$ - 11 months ago
Merci pour vos ajouts ! Je me souviens vaguement d'un truc mais impossible de retrouver où j'ai lu ça. Étant donnée une application linéaire $u:E\rightarrow F$, il s'agissait sauf erreur de la suite $(v_n)_{n\in\N}$ définie par : $v_0=u$, $v_1=$$^{t(1)}u=$$^tu$ et pour tout $n\geqslant 2, v_n=$$^{t(n)}u=$$^{t}($$^{t(n-1)}u)$. La suite $(v_n)_{n\in\N}$ possède-t-elle des pby topopot - Algèbre
Autour de la transposée ${}^tu$ - 11 months ago
Salut Connaissez-vous des propriétés/résultats sympas/intéressants/tautologiques (je prends tout !) qui tournent autour de la notion d'application transposée d'une application linéaire ? J'ai pensé regarder sur des vieux livres de prépas mais il n'y a en fait pas grand chose, pourtant à cette époque il y a du avoir un certain nombre d'énoncés de concours sur le sujet (noby topopot - Algèbre
Re: Question sur les catégories - 11 months ago
Merci pour la clarification.by topopot - Fondements et Logique
Re: Question sur les catégories - 11 months ago
J'ai une question sur la définition d'un foncteur de catégories (voir ci-dessous pour la définition). On est d'accord que pour tout objet $X$ de la catégorie de départ, on a l'existence mais pas nécessairement l'unicité de l'objet $F(X)$ de la catégorie d'arrivée ? Même chose pour $F(f)$ avec $f$ morphisme de la catégorie de départ. Cela ne pose-t-il pas uby topopot - Fondements et Logique
Re: Question sur les catégories - 1 year ago
Intéressant, merci ! J'aurai sûrement d'autres questions sur les catégories, je continuerai ici.by topopot - Fondements et Logique
Question sur les catégories - 1 year ago
Bonjour Dans la définition d'une catégorie (voir ci-dessous pour voir celle que je prends), je sais qu'il y a un débat quant au fait que les objets de ladite catégorie forment un ensemble ou non. Par exemple, le cours que je regarde parle d'une classe d'objets, afin notamment de pouvoir considérer plus loin la catégorie des ensembles dont les objets ne forment pas un ensembleby topopot - Fondements et Logique
Re: Lien hyperplans droites - 1 year ago
En effet, je cherchais plus compliqué, je réécris ça au propre pour me convaincre et reviens si besoin, merci !by topopot - Algèbre
Re: Lien hyperplans droites - 1 year ago
Oui je veux bien admettre l'axiome du choix.by topopot - Algèbre
Lien hyperplans droites - 1 year ago
Soient $\K$ un corps et $E$ un $\K$-espace vectoriel. Pour toute partie $A$ de $E$, on note $A^{\perp}$ son orthogonal dans le dual $E^*$. Pour toute partie $B$ de $E^*$, on note $B^{°}$ son orthogonal dans $E$. On note $\mathcal P(E^*)$ l'ensemble des droites vectorielles de $E^*$ et $\mathcal H(E)$ l'ensemble des hyperplans de $E$. Est-ce que le fait que $\mathcal P(E^*)$by topopot - Algèbre
Re: CNS pour avoir une infinité d'hyperplans - 1 year ago
Merci Poirot, je reviens si besoin !by topopot - Algèbre
Re: CNS pour avoir une infinité d'hyperplans - 1 year ago
Merci à vous deux, vous avez raison. Du coup, j'ai du mal à trouver la CNS.by topopot - Algèbre
CNS pour avoir une infinité d'hyperplans - 1 year ago
Soient $\K$ un corps quelconque et $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension quelconque. Donner une CNS pour que $E$ admette une infinité d'hyperplans. Pouvez-vous me dire si mon raisonnement ci-dessous est correct : 1) Il est équivalent de chercher une CNS pour que $E$ admette une infinité de droites (on le vérifie à l'aide de la caractérisation "existence d'une droiby topopot - Algèbre
Re: Un anneau quotient - 1 year ago
C'est plus compliqué que ce que je pensais.by topopot - Algèbre
Re: Un anneau quotient - 1 year ago
Ah ma réponse est vraie lorsque $R$ est intègre, sauf erreur. Par contre pour le cas général je ne sais pas. Les inversibles de $\Z/4\Z$ sont $\overline{1}$ et $\overline{3}$. 1- Justement c'était l'objectif de l'exemple de ce topic. J'ai essayé plusieurs choses mais j'ai l'impression de chercher le néant.by topopot - Algèbre
Re: Un anneau quotient - 1 year ago
Ce sont ceux de $R$ i.e. les éléments de $R^{\times}$.by topopot - Algèbre
Re: Un anneau quotient - 1 year ago
Merci, en effet, par exemple pour $x=zy$, cela vient du fait que $X-ZT\in (X-ZY,Y-TX)$. Je cherche maintenant à montrer qu'il n'existe pas $u\in A^{\times}$ tel que $x=uy$ mais déjà, je ne sais pas déterminer les inversibles de $A$.by topopot - Algèbre
Un anneau quotient - 1 year ago
Bonjour, Soit l'anneau quotient $A:=\Z/(X-ZY,Y-TX)$. On note $\pi:\Z\rightarrow A$ la projection canonique et $x:=\pi (X)$ et $y:=\pi(Y)$. Je ne comprends pas pourquoi $x$ et $y$ sont associés dans $A$, i.e. $(x)=(y)$.by topopot - Algèbre
Re: Pensée sur le polynôme caractéristique - 1 year ago
Merci je vais regarder ça !by topopot - Algèbre
Re: Pensée sur le polynôme caractéristique - 1 year ago
Ah super intéressant, merci ! En effet sur le lien il est dit que $E$ est égal à $\K\otimes_{\K} E$. Quelqu'un pourrait me définir proprement ce qu'est $\K\otimes_{\K} E$ ? J'imagine que c'est encore un coup de produit tensoriel, il va falloir que j'y jette un œil, la dernière fois j'avais abandonné car certains aspects techniques m'avaient découragé.by topopot - Algèbre
Pensée sur le polynôme caractéristique - 1 year ago
Soient $\K$ un corps, $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$. Le polynôme caractéristique de $u$, que je note $C_u$, est égal au polynôme caractéristique de $A$ (qui est égal à $C_A:=\mathrm{det}(XI_n-A)$) où $A$ désigne la matrice de $u$ dans n'importe quelle base $\mathcal B$ de $E$. Cela est légitimé par le fait que deux matrices semblablesby topopot - Algèbre
Re: Mini-question sur la réduction - 1 year ago
Merci à vous deux ! On vérifie en effet que la bonne caractérisation est la suivante : Si $x\in E$ un vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda\in\K$, alors les assertions suivantes sont équivalentes : $x$ est l'unique vecteur propre de $u$ associé à $\lambda$. $\lvert\K\rvert=2$ et $\mathrm{dim}(\ker (u-\lambda\mathrm{Id}_E))=1$.by topopot - Algèbre
Mini-question sur la réduction - 1 year ago
Bonjour Soit $u$ un endomorphisme d'un $\K$-espace vectoriel $E$. Je sais que si $x\in E$ est un vecteur propre de $u$, alors il existe une unique valeur propre $\lambda\in\K$ de $u$ telle que $u(x)=\lambda x$. Cela vient de la "pseudo-intégrité" d'un espace vectoriel : $\forall (\alpha,t)\in\K\times E,\quad (\alpha t=0_E)\iff (\alpha=0_{\K}\text{ ou } t=0_E)$. Maintenaby topopot - Algèbre
Re: Base de topologie (éclaircissements) - 1 year ago
En effet, merci à vous deux.by topopot - Topologie
Re: Base de topologie (éclaircissements) - 1 year ago
Ah oui, j'avais oublié de préciser que $\mathcal B\subset \mathcal O_E$ dans la définition. Sinon le reste de mes assertions est correct ?by topopot - Topologie
Base de topologie (éclaircissements) - 1 year ago
Bonjour, Je souhaite éclaircir un truc qui est bâclé dans le cours que je lis. Je rappelle d'abord la définition utilisée. Définition. Soit $(E,\mathcal O_E)$ un espace topologique. On dit qu'une partie $\mathcal B$ de $\mathcal O_E$ est une base de topologie de $(E,\mathcal O_E)$ si tout élément de $\mathcal O_E$ est réunion d'éléments de $\mathcal B$. Soit $\mathcaby topopot - Topologie
Ensemble des fermés de $\R$ - 1 year ago
Salut, Je lis dans un cours que l'ensemble des fermés de $\R$ muni de sa topologie usuelle (cette topologie étant définie comme l'ensemble des réunions quelconques d'intervalles de la forme $]a,b[$ avec $(a,b)\in\R^2$), est égal à l'ensemble des réunions d'intervalles de la forme $$ avec $(a,b)\in\R^2$. Je n'arrive pas à le prouver et j'arrive uniquementby topopot - Topologie