existence et unicité de l'origine de l'univers
Réponses
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bonjour,
je ne suis pas sûr de comprendre. Une topologie sur un ensemble E va de la moins fine, la topologie grossière (ø et E seuls ouverts) à la plus fine, la topologie discrète (toute partie de E ouverte). Un espace métrique discret (i.e. muni de la distance d(x,y)=1 pour x<>y) est donc un espace topologique discret (tout singleton {x} coïncide avec la boule ouverte B(x,1)). Réciproquement, tout espace topologique discret est métrisable, ne serait-ce que par la métrique discrète. Mais il y a d'autres distances équivalentes bien entendu. Par ex, un espace métrique (E,d) est un espace topologique discret pour la distance d'(x,y) = max(1,d(x,y)) (pour x<>y), équivalente donc à la distance discrète. Quoi qu'il en soit, un espace topologique discret, en tant qu'espace métrique (distance discrète ou non) est complet puisque pour toute suite de Cauchy (ai), étant donné un réel r>0 quelconque, il existe n tel que d(aj,ak)<r pour j,k >=n. Or, puisque {aj} est ouvert, il existe s>0 tel d(aj,x)<s <=> x=aj. Et comme pour tout k>=n, d(aj,ak)<min(r,s), ak=aj et (ai) est convergente.
Est-ce que mon blabla a un sens ?:) -
oups
mon argument sur la complétude est complètement faux ! -
Non, pas d'accord GG, l'exemple de skilveg montre bien qu'un espace métrique peut être topologiquement discret sans être muni de la distance discrète, et donc il peut ne pas être complet.
Je pense qu'on se comprend mal car skilveg et moi ne connaissons pas le terme "espace métrique discret" qui apparemment signifie espace muni de la distance discrète. Mais cette dénomination clashe un peu avec celle que je connais qui est "espace topologique discret" car avec cette définition un espace métrique peut être discret en tant qu'espace topo sans être muni de la distance discrète. -
ok egoroff, j'ai compris Je n'avais pas vu l'exemple de skilveg qui répond à la question d'un espace métrique non discret (au sens de la distance discrète), discret au sens topologique, et non complet.
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Merci GG je commençais à me demander si je ne racontais pas n'importe quoi :-)
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oui, il faut dire que l'énoncé sibyllin et laconique de l'oracle basedetranscendance était troublant ! C'est beau de voir où nous emmènent les élucubrations sur Dieu, Allah, Adam, les nombres et la topologie
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Oui c'est clair ça fait du bien de relever un peu le niveau du fil ! J'attends toujours avec impatience qu'on m'explique comment un ensemble fini muni du cardinal en guise de norme devient un espace de Banach.
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J'attends toujours avec impatience qu'on m'explique comment un ensemble fini muni du cardinal en guise de norme devient un espace de Banach. ...... Inch'Allah !
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Bonjour,
C'est miraculeux, n'ayons pas peur des mots, qu'un sujet aussi ... , accouche d'une discussion aussi sérieuse.
1) Espace discret : Ref Faisant p14.
Soit X un ensemble muni de deux topologies: $T_1= (X,O_1), T_2=(X,O_2)$.
On dit que $T_1$ est plus fine , ou plus forte que $T_2$, si$O_2 \subset O_1$; on écrit $T_1 \geq T_2$.
La relation $ \leq$ est une relation d'ordre dans l'ensemble des topologies sur X.
Cet ensemble est un treillis possédant un plus grand et un plus petit élément.
--> le plus grand élément est la topologie définie par $O=P(X)$ appelée toplogie discrète sur X; muni de cette topologie, X est appelé espace discret.
--> idem pour topologie grossière.
2)Distance discrète: Ref Sonntag p135.
Cas des espaces métriques: la distance discrète définit la topologie la plus fine possible, à savoir :$O=P(X)$. On appelle cette topologie la topologie discrète.
Il faut noter que la topologie discrète peut-être décrite par une distance qui n'est pas la distance discrète; sur $X=Z$, la distance induite par la distance usuelle $d(m,n)=$l$m-n$l sur lR, ne coïncide pas avec la distance discrète, et pourtant d définit la topologie discrète.
Amicalement. -
bonsoir et glurps...effectivement, le sujet a changé et cela vaut surement mieux; il me semble que la confusion se trouve entre ensemble discret et espace discret pour une topologie donnée et ensemble muni de la topologie discrète, ce qui est toujours faisable (la topologie discrète étant la plus fine de toutes les topologies sur cet ensemble comme il a été dit).
Avec la métrique usuelle l'exemple de Skilveg n'est pas complet mais il l'est avec la métrique discrète.
(En espérant ne pas avoir dit trop d'âneries ...).A demon wind propelled me east of the sun -
Bonsoir
Il y a quelque chose que je ne comprends pas :
Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy dans un espace topologique qui n'est pas métrique ?
Je croyais que pour définir une suite de Cauchy, il fallait un espace métrique !
Et pareillement je croyais qu'on ne définissait un espace complet que sur les espaces métriques ? Et que la complétude dépendait de la métrique choisie.
Bref, jusqu'à aujourd'hui j'aurais écrit je crois, mais là j'ai écrit je croyais parceque le doute s'est installé ! (c'est vraiment le fils qui convient pour un tel message)
Alain -
Si même Alain en perd son latin..., c'est à en devenir mécréant...
[petite suggestion : fermer ce fil à bondieuseries et en ré-ouvrir un autre sur les questions d'espace topologique discret -espace métrique discret, etc..] -
reglurps...et rebonsoir
complet s'entend avec métrique mais aussi avec structure uniforme (cf les Bourbaki de topologie), un bon exemple serait de penser aux groupes topologiques (de préférence commutatifs...) dans lesquels les voisinages de l'unité permettent de mesurer la proximité des points comme les boules dans les métriques; cependant, dans ce cas, je pense que l'exemple
$$ \left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{Z}^*\right\}$$
ressort soit de la distance discrète qu'il est possible d'installer sur tout ensemble (non vide...) et qui induit la topologie discrète qui est donc métrisable...soit de la distance induite.
Par ailleurs, j'ai une question (mais je suis assez neuf sur ce forum): pourquoi aperçu est-il écrit avec deux p?A demon wind propelled me east of the sun -
Où vois-tu "aperçu" avec deux "p", Gilles ?
Pour en revenir au sujet du fil, je dirais que moi qui comme Saint Thomas ne crois que ce je vois, je suis agnostique car très myope. :-) -
Bonsoir
Une partie d'un espace métrique est métrique pour la distance induite
La partie X de R formée par les 1/n est donc un espace métrique
La topologie associée à cette métrique est la topologie induite par celle de R sur la partie X.
Mais les ouverts de X sont les intersections d'un ouvert de R avec X
Comme tout point de X est le centre d'un intervalle de R qui ne rencontre X qu'en ce même point, il s'ensuit que tout point de X est un ouvert de X et donc que la topologie sur X est la topologie discrète.
Par ailleurs si X était complet comme sous-espace métrique de R, il serait fermé dans R ce qui n'est pas.
Donc X est un espace métrique non complet et dont la topolgie est la topologie discrète (au sens que chacun de ses points est un ouvert...) -
désolé, ce fil est enchanté( un joli mot pour changer) car mon bouton aperçu contient deux p....
je ne sais pas si c'est grave.A demon wind propelled me east of the sun -
Bonsoir
Waouh ! Je viens de me rendre compte qu'un espace X peut être muni de 2 distances différentes, induisant la même topologie sur X (les même ouverts), jusque là d'accord, mais que pour une distance X est complet et pour l'autre X n'est pas complet !
C'est vrai que la complétude n'est pas une notion topologique, et que les deux métriques (X,d) et (X,d') ne sont pas isométriques (isomorphisme d'espace métrique), mais ils sont homéomorphes (isomorphisme de structure topologique).
Bref la topo c'est quand même plus compliqué que l'algèbre
Alain -
Bonjour,
Et oui, la complétude, comme les suites de Cauchy et la précompacité sont des notions uniformes et non topologiques.
La réponse claire et précise à l'exemple de Skilveg se trouve donc dans le message de gilles du 05/01 à 20h43 ?
Maintenant, il est vrai que les groupes, c'est vraiment pas mal aussi !
Mathématiquement vôtre. -
Comme toi, Alain, Je n'avais jamais réalisé cette différence.
Si je résume avec quelques notion peut-être un peu désuètes.
Les suites de Cauchy sont définies par une structure uniforme et toute structure uniforme définit une topologie. La complétude de l'espace topologique dépend uniquement de la structure uniforme, dans ce cas, il y a correspondance entre suites de Cauchy et points de l'espace topologique. Du coup, comme deux structures uniformes distinctes peuvent engendrer la même topologie, on obtient des espaces topologiques admettant le même support, munis de la même topologie et l'un étant complet, l'autre ne l'étant pas.
Probablement que cela doit traîner dans les exercices du chapitre II de topologie de Bourbaki.
En attendant, chapeau messieurs !
Bruno -
En bref : les parties $\Z$ et $\{1/n, n\in Z\}$ de $\R$ sont homéomorphes, mais l'une est complète et l'autre pas.
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Pourrait-on remplacer Z par Z étoile dans le deuxième ensemble ? merci !!
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En bref, les parties : $ \mathbb{Z}$ et $ \{1/n, n\in \Z^*\}$ de $ \mathbb{R}$ sont homéomorphes, mais l'une est complète et l'autre pas.
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tant qu'a faire :
c'est quoi exactement un espace metrique discret ?
pour un espace topologique c'est plié
on pourrait dire que c'est un espace muni de la distance discrete, mais ca me semble un peu restrictif -
> "Maintenant, il est vrai que les groupes, c'est vraiment pas mal aussi !"
C'est aussi ce que je me dis ces derniers temps... :-)
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Bonjour!
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