Besoin d'aide

ya des fautes d ortographes
lol

...Je voudrais justement revenir sur la preuve du TNP (que je trouve un tantinet alambiquée), car il me semble avoir vu une faute (de frappe, sans doute) à la page 41 dans le changement de variable $u=wx$ dans la dernière intégrale : en effet, on a $$\int_{x}^{(1 + \varepsilon)x} \left ( \frac {(1 + \varepsilon)x}{u} - 1 \right ) \, du = x \int_{1}^{1 + \varepsilon} \left ( \frac {1 + \varepsilon}{w} - 1 \right ) \, dw = x \left \{ (1 + \varepsilon) \ln (1 + \varepsilon) - \varepsilon \right \}.$$

D'autre part, le lemme 6.1 se démontre plutôt en utilisant une sommation partielle : $$\pi(x) = \frac {\theta(x)}{\ln x} + \int_{2}^{x} \frac {\theta(t)}{t (\ln t)^2} \, dt,$$ ce qui est plus simple et plus rapide, non ?

De plus, n'oublie pas de préciser le rôle de l'analyse complexe dans la démonstration du TNP, de préciser aussi que certains grands noms des mathématiques de l'époque (Hardy, Ingham, etc.) pensaient qu'il était impossible de démontrer ce TNP de façon "élémentaire", et qu'une telle preuve est néanmoins arrivée en 1949, soit 55 ans après la preuve analytique d'Hadamard et de La Vallée Poussin, au grand soulagement des arithméticiens !

Enfin, je signale que mon livre contient, en annexe, des estimations explicites de $\pi$ et $\theta$, estimations obtenues en 1962, en partie grâce à la puissance des ordinateurs suffisante pour déterminer un nombre important de zéros de la fonction $\zeta$ sur la droite critique.

Borde.

Je comprends très bien ton point de vue, tu avais clairement indiqué ton niveau.
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<BR>Pour un niveau M1 et un peu plus (ce qui correspond sans doute à ton niveau), il y a une preuve solide dans le livre de Widder : <I>An introduction to transform theory</I>, Academic Press (1971), chapitre 4.
<BR>
<BR>Va voir aussi le livre (plus célèbre) de Titchmarsh : <I>The theory of the Riemann-zeta function</I>, Oxford (1986), chapitre 3.
<BR>
<BR>Que l'on se comprenne bien : ce que tu as fait est correct (modulo les petites erreurs), mais, quand on connaît le domaine, la preuve est, disons, un peu tarabiscotée. Remarque que ce n'est qu'une opinion (la mienne, en l'occurrence), et, en tout état de cause, c'est à toi que revient le dernier mot, la décision t'appartient. Je n'ai fait que <I>suggérer</I> certains points, tout simplement parce que j'ai 10 ans de recul là-dedans, c'est tout !
<BR>
<BR>Quant à mon livre, le voici : <a href=" <"> <</a><32>>http://www.amazon.fr/exec/obidos/ASIN/2729827145/qid<BR&gt;