Théorème de Shannon sur l'échantillonnage
Bonjour à tous.
Je suis en MP et je cherche une démonstration abordable à mon niveau (même si il y a quelques théoêmes à admettre ce n'est pas très grave, c'est pour mon TIPE en fait) du résultat de Shannon concernant l'échantillonnage d'un signal analogique:
à savoir: la fréquence d'échantillonnage, pour pouvoir reconstituer le signal d'origine, doit être de 2 fois supérieure à la fréquence maximale que peut prendre le signal que l'on veut numériser.
Merci de votre aide.
[J'ai ramené le niveau de Capes à L1/L2. AD]
Je suis en MP et je cherche une démonstration abordable à mon niveau (même si il y a quelques théoêmes à admettre ce n'est pas très grave, c'est pour mon TIPE en fait) du résultat de Shannon concernant l'échantillonnage d'un signal analogique:
à savoir: la fréquence d'échantillonnage, pour pouvoir reconstituer le signal d'origine, doit être de 2 fois supérieure à la fréquence maximale que peut prendre le signal que l'on veut numériser.
Merci de votre aide.
[J'ai ramené le niveau de Capes à L1/L2. AD]
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Réponses
Et pourquoi "Capes" comme niveau ?
Pour le nom du théorème:
critère de Nyquist=théorème de Shannon.
Pour la démo je l'ai lue mais je n'en ai aucun souvenir... Je regarderais dans mes archives quand je pourrai.
On note alors $\hat{f}(\mu) = \int_{R} f(x)e^{-2i\pi\mux}$ sa transformée de fourier...
On suppose que $support(\hat{f}) \in [-\Omega \Omega]$
Tu considères alors $\tilde{f}$ la periodisée de $\hat{f}$ de periode $2\Omega$
T'exprime alors $\tilde{f}$ à l'aide de sa serie de fourier...
$$ \forall x \in R, \tilde{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k C_k e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$
avec
$$ C_k = \int_{-\Omega}^{+\Omega} \tilde{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = \int_{R} \hate{f}(\mu)e^{-\frac{i\pik\mu}{\Omega}} = f(k/(2\Omega))
$$
Au final, $\forall \mu \in [-\Omega, +\Omega]$, on a
$$ \hat{f}(\mu) = \frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega))
e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}} $$
En premant la transformée de Fourier inverse de $ \hat{f}$, tu trouve alors
$$f(x) = \int_{-\Omega}^{+Omega} \hat{f}(\mu) e^{+2i\pi\mu x} $$
et donc
$$f(x) =\frac{1}{2\Omega} \sum_k f(k/(2\Omega) \int_{-\Omega}^{+Omega}e^{\frac{i\pik\mu}{\Omega}}e^{+2i\pi\mu x} $$
Conclusion : à partir d'un échantillonage de periode $1/(2\Omega)$ , tu peux reconstruire complétement f ou $\Omega$ représente la fréquence maximale de ton signal.
En faite la démonstration montre que lorsque tu échantillones ton signal avec une periode h, tu périodises la transformée de Fourier du signal avec une période de $1/h$. Pour ne pas perdre d'information sur f, il faut alors que le support de $\hat{f}$ soit compris dans l'intervalle $[-1/(2h), 1/(2h) ]$ ( Sinon il y a recouvrement...). Ceci implique donc que $\Omega \leq 1/(2h)$
elie
<http://www710.univ-lyon1.fr/~jciehl/Public/educ/ENS/ch12_antialiassage.pdf>
C'est une partie d'un cours d'image, il n'y a pas de quoi casser 3 pattes à un canard mais si ça peut servir ...