la solution n'est pas clairement rédigée ?
Je me permets de vous écrire car la démo du Hprépa (2eme année) montrant que les valeurs d'adhérence de cos(n) forment un fermé ne m'est pas claire . (je n'ai pas dit qu'elle était fausse)
Est ce que quelqu'un qui aurait le livre(page30-31) pourrait me le confirmer ?
Sinon , cela vient peut-être de ce que je manque de volonté et qu'il va falloir que je prenne un papier et un crayon pour avancer !
Est ce que quelqu'un qui aurait le livre(page30-31) pourrait me le confirmer ?
Sinon , cela vient peut-être de ce que je manque de volonté et qu'il va falloir que je prenne un papier et un crayon pour avancer !
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Réponses
Sinon en fait on peut montrer que pour toute suite $u=(u_n)$, l'ensemble des valeurs d'adhérence de $u$ est égal à $ \displaystyle \bigcap_{n \in \N} \overline{ \{ u_k | k \geq n \}} $ donc est fermé.
Domi
Le livre concerné : cours de maths MP-MP* .
[C'est corrigé. md.]
Tu veut sans doute dire qu'il n'est pas évident que ces valeurs d'adhérences sont le segment [0;1], car cet ensemble est toujours fermé, en toute généralité.
Pour montrer que c'est [0;1] tout entier, je pense à l'argument suivant :
L'ensemble des arguments de exp(i*n) quand n décrit Z, pris dans [0;2*Pi] est un groupe isomorphe à R/(2*Pi)R, dont l'image réciproque par la surjection canonique est un sous-groupe de R, qui est donc soit dense soit monogène. Or il ne peut être monogène, sinon 1 et Pi serait commensurables, il est donc dense, et on en déduit le résulat.
Lebesgue
et l'image d'une partie dense par une application continue est dense (dans l'image de la fonction).
<BR>je te joins une solution niveau sup (qui en gros reprend l'argument de Lebesgue ci-dessus mais en plus détaillé), que j'avais rédigée suite à une question similaire qui m'avait été posée.<BR>