Hypothèse de Riemann

Bien sûr qu'il en faut pour tous les goûts. Il en faut même pour les algébristes !
Voici donc une équivalence disons... moins analytique.
Paulo Ribenboim la mentionne dans ses "lectures sur la théorie des nombres".
Elle a été obtenue en 1933 par Deuring. Je reprends bien sûr les notations du maître.

On notera donc
\begin{equation}
Q= \bigl<a,b,c\bigr>=aX^2+bXY+cY^2
\end{equation}

une forme quadratique binaire (c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 à 2 indéterminées et à coefficients $a,b,c$ dans $\mathbb{Z}$).
Une telle forme est dite primitive si $\text{pgcd}(a,b,c)=1$.
Si $D=D(Q)=b^2-4ac$ est un discriminant quelconque, on note $Q_D$ l'ensemble de toutes les formes et $\textbf{Prim}(Q_D)$ le sous-ensemble de $Q_D$ constitué des formes primitives.
Si $D<0, \: Q_D$ est ramené à l'ensemble des formes définies positives.

$GL_2(\mathbb{Z})$ sera le groupe linéaire de rang $2$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices:
\begin{equation}
A=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}
\end{equation}

vérifiant $\alpha\delta - \beta\gamma=1$.

Soient deux formes $Q=\bigl<a,b,c\bigr>, \: Q'=\bigl<a',b',c'\bigr>$ et une matrice $A \in GL_2(\mathbb{Z})$.
On définit une application $T_A: \: Q_D \longrightarrow Q_D$ de la manière suivante:

\begin{equation}
\displaystyle T_A\big(\bigl<a,b,c\bigr>\big)=\bigl<a',b',c'\bigr>
\end{equation}

avec les nouveaux coefficients $a',b',c'$ correctement exprimés en fonction des anciens. On a en particulier $a'=Q(\alpha, \beta)$.
Cette relation définit une action de $GL_2(\mathbb{Z})$ sur $Q_D$.

Deux formes sont dites équivalentes (noté $Q \sim Q'$) si il existe $A \in GL_2(\mathbb{Z})$ telle que

\begin{equation}
Q'=T_A(Q)
\end{equation}

Enfin, on note $h(D)$ le nombre de classes d'équivalence de $\textbf{Prim}(Q_D)$.

Alors, si l'hypothèse de Riemann est fausse, il existe un nombre fini de discriminants $D<0$ tels que $h(D)=1$.

Mordell démontrait peu après que si l'hypothèse de Riemann est fausse: $\lim_{D \to -\infty}h(D)=\infty$.

NB: il existe aussi une notion de $\textbf{classes d'équivalence propres}$ portant sur le groupe linéaire spécial, sous-groupe de $GL_2(\mathbb{Z})$.
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