Je conseille à tous ceux qui se demandent pourquoi il n'y a pas plus de personnes qui bossent sur RH de lire ce post de Terence Tao et les liens qui sont dedans.
John Carloz Baez demeure plutôt incrédule sur l'issue de la présentation de son homologue Britannique qui n'a pas abouti sur de précédents sujets.
Dixit : "Tomorrow Atiyah will talk about his claimed proof of the Riemann Hypothesis.
It's all about "the music of the primes". Here the function that counts primes < n is being approximated by waves whose frequencies come from zeroes of the Riemann zeta function.
I bet that Atiyah's claimed proof, if and when he writes it up, will not convince experts.
In 2017 he claimed to have a 12-page proof of the Feit-Thompson theorem, which usually takes 255 pages:
Merci @Poirot pour le document. Je suis agacé qu'il se réfère à une fonction $T$ sans la décrire (en renvoyant à un autre papier non encore publié dont il est lui-même l'auteur) : c'est du foutage de gueule sur une preuve de RH.
Et il utilise de nombreuses propriétés que je ne comprends pas (mon niveau est insuffisant). Bon, j'attends de lire ce que deviendra sa preuve dans quelques semaines.
L'autre papier en question où est "définie" la fonction $T$ est celui-ci. Autant dire que c'est du gros foutage de gueule, ou la preuve d'une sénilité avancée.
Au passage, des gens ont cherché à calculer le $\alpha$ prédit par ce papier, et trouvent des choses à des années-lumières de la vraie constante de structure fine. Bref, c'est du grand n'importe quoi.
On peut heureusement espérer que cela n'entachera pas sa réputation.
Après tout, Gödel a fini sa vie en étant complètement fou et cela n'a pourtant rien enlevé à son statut de génie.
Il n'empêche que tout ça doit probablement mettre la communauté mathématique dans un certain malaise. Il faudra qu'un mathématicien "de référence" accepte de se sacrifier et de jouer le méchant en annonçant officiellement le grand n'importe quoi de tous ces articles.
Je persiste à croire que ce n'est qu'un canular pour dénoncer, par exemple, les dérives de l'édition scientifique ou la surabondance de fausses preuves et d'articles non-vérifiés.
...
Bon, j’ai lu les documents. Mazette ! Que de bêtises dans ces pages : non seulement il écrit n’importe quoi mais en plus il s’attaque à la physique ! Là c’en est trop. J’ai lu sur Wikipedia son profil et le gars n’est pas vraiment un nul. C’est donc le grand âge et la volonté de montrer qu’il peut encore faire des découvertes qui sont à l’oeuvre. C’est du Shtam, mais à lire avec tendresse et bienveillance.
J'en veux surtout aux organisateurs de la conférence qui ont accepté son preprint et lui ont donné la possibilité de se ridiculiser devant le monde entier (sa conférence a été streamée).
"le gars n’est pas vraiment un nul" : lol, c'est le moins qu'on puisse dire.
D'ailleurs je suis plutôt content de cette conférence car j'ai trouvé un bel interview d'Atiyah https://www.johndcook.com/blog/2013/09/24/interview-with-sir-michael-atiyah/ qui date de 5 ans. Il a écrit plusieurs papiers magnifiques, donc le fameux "Yang-Mills equations on Riemann surfaces" qui mélange beaucoup de maths magnifiques présentes en physique mathématique.
Oui, c’est sûr à 100%. Son papier ne contient pas de preuves mathématiques. En gros, soit ce sont des bétises, soit ce sont des phrases du type : [ si $1=1$, alors $RH$ ] (sans démonstration).
Avec un peu d’honnêteté intellectuelle, il pourrait lister ces hypothèses et écrire :
Si a et b et c et...., alors RH. Et laisser au lecteur le soin de vérifier l’implication et de valider ces hypothèses. Le problème est que les hypothèses supposent l’existence de trucs et de machins et on tombe alors dans du grand n’importe quoi :
Si il existe une fonction f telle que [si f(1)=1, alors RH], et si f(1) ne prend que les valeurs 0 ou 1, et si f(1) ne prend pas la valeur 0, alors RH.
Bref, son papier présente sans doute une idée, une trame d’un possible travail de recherche. Mais à son âge, il sait ce qu’est une preuve et ce qui ne l’est pas. Visiblement il s’en fout aujourd’hui... et il n’écoute pas son entourage mathématique qui doit en avoir assez de le raisonner.
Son papier sur la constante de structure fine est un foutage de gueule, grandiose et sidérant. Un chef d’oeuvre de Shtam à lire et relire.
Pour la faire courte, l'HR est une séquence de Lapalissades à franchir !
Untel dénommé Hirzebruch a défini des exponentielles sur le corps Q.
Il a montré que chacune de telle exponentielle a sa fonction génératrice.
Une fonction analytique implique l'extension du processus de Q vers R.
La résultante comme théorème index en découle de la forme Tr(-1)^F?
Le drame dans tout ça, c'est la renommée d'Atiyah: une médaille Fields en 1966, le prix Abel en 2004, des apports en géométrie, topologie, physique théorique... C'est elle qui braque les yeux de la communauté sur sa "preuve" et c'est elle aussi qui empêche ses collègues d'émettre le moindre avis critique.
Des physiciens de l'université de Californie ont quand même manifesté leur agacement.
La revue "Science" rapporte qu'en 2017, Atiyah prétendait avoir transformé les 255 pages de la démonstration du théorème de Feit-Thomson en 12 pages simplifiées.
Peu de temps après il annonçait avoir résolu un problème majeur de géométrie différentielle. Les deux "preuves", unanimement jugées "aberrantes", ne furent jamais publiées.
...
Pour finir je mets ce lien: c'est une notice de l'AMS consacrée à F. Hirzebruch.
Atiyah y raconte leur collaboration autour d'une généralisation du théorème de Riemann-Roch. Elle commence à Princeton en 1954.
A cette époque, il domine visiblement son sujet
Je cite : "$F(s)=2F(s)$ ; since $\C$ is not of characteristic $2$, it follows that $F(s)$ is identically zero." Je ne jaspine pas bien le rosbif, mais il me semble que ce résultat est encore plus vrai en caractéristique $2$ parce que le membre de droite vaut déjà $0$ (théorème d'Atiyah-Hicham).
Pour le papier précédent que prétend démontrer la réfutation de RH, il suppose, sans preuve, l'hypothèse 5, équation (16).
Donc la structure de ce papier est : si RH est fausse, alors RH est fausse.
Qu’est-ce qui pousse des gens à donner un titre qui ne correspond pas au contenu de leur papier ?
Je pense que tu mal lu YvesM, il suppose RH vraie, cela implique en particulier que $\beta^* < 1$ et aboutit à une contradiction.
J'ai passé une vingtaine de minutes à regarder le papier, il y a une vraie faute dans la démonstration du lemme 7, je laisse le lecteur perspicace la trouver ;-) De manière générale il y a un vrai problème de quantification qui nuit à la compréhension, une petite erreur de calcul dans (28), et je trouve extrêmement bizarre que le $\sigma$ ne joue au final aucun rôle...
Hum...
Point 2:
C'est un exercice de corrélations :
- résidant à Givry en Saône-et-Loire (71) en Bourgogne-Franche Comté (d'après le texte 2).
- enseignant les mathématiques au lycée à Gueugnon en Saône-et-Loire (d'après le texte 1).
Ceci n'est donc pas contradictoire.
Point 1:
Si souci il y a, au Lemme 6, il se retrouve au Lemme 7, sauf s'il s'agit de définir B(x) vs. A(x)!
Ok j’avais mal lu.
Je crois qu’il utilise $z=\sigma +it$ avec $\sigma >1$ pour assumer la convergence absolue. Puis sans l'écrire, il change la notation en $z=\sigma +it+1$ et donc $\sigma>0$ : je crois donc que le signe positif et la non-nullité de ce dernier $\sigma$ sont corrects.
Dans sa conclusion de la proposition 8, il obtient $ x^{1-\beta}/(\sigma-1)$ et écrit que cette quantité tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque $1-\beta>0$, mais comment établit-on le signe de $\sigma-1$ ? A-t-il confondu ses notations ?
1. Comme il travaille à $s$ fixé (si j'ai bien compris) avec $\sigma := \textrm{re}(s) > 1$, tout son cheminement menant à l'inégalité de la Proposition 8 est inutile (et même douteux en ce qui concerne les quantifications) : la majoration simple
$$\left| \int_x^\infty \frac{M(u)}{u^{s+1}} \textrm{d}u \right | \leqslant \frac{m(\sigma) x^{\beta-\sigma}}{\sigma - \beta}$$
aurait été suffisante. Il suffit alors d'ajouter un $|s|$ au numérateur du membre de gauche de l'inégalité qui suit (30) et de la $1$ère fraction de (31).
2. Le résultat de (28) est correct, sauf que si l'on veut vraiment être pointilleux, ce calcul concerne plutôt la somme $\sum_{n > x}$. Mais ça ne change rien au résultat final.
3. Un papier qui prétend infirmer l'Hypothèse de Riemann avec uniquement des majorations grossières du type $\mu(n)^2 \leqslant 1$ et $x^{\beta - \sigma} \leqslant 1$ (voir (18)), ou utilisant l'estimation très connue (voir (27))
$$\sum_{n \leqslant x} \mu(n)^2 = \frac{x}{\zeta(2)} + O \left( \sqrt x \right)$$
qui, je le rappelle, n'est pas la meilleure qui soit puisque le Théorème des Nombres Premiers permet de remplacer le terme d'erreur par $O \left( \sqrt{x} e^{-c (\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5}} \right)$, un tel papier, disais-je, doit être considéré comme suspect. En l'occurrence, ce qui ne va pas ici, à mon sens, c'est la minoration de (30).
Plus précisément, l'erreur vient du mauvais emploi des quantificateurs dans les démonstrations des Propositions 2 et 3, qui sont le coeur de la démonstration du résultat principal de ce manuscrit : l'auteur montre que l'assertion
$$\forall \varepsilon \in \left]0,1 \right [, \ \forall t > 0, \ \forall \sigma > 1, \ \forall x > 1, \quad \left| \sum_{n > x} \frac{\mu(n)}{n^{\sigma + it}} \right| < (1-\varepsilon) \sum_{n > x} \frac{\mu(n)^2}{n^\sigma}$$
est fausse. De là, il en déduit que
$$\forall \varepsilon \in \left]0,1 \right [, \ \exists t_\varepsilon > 0, \ \forall \sigma > 1, \ \forall x > 1, \quad \left| \sum_{n > x} \frac{\mu(n)}{n^{\sigma + it}} \right| \geqslant (1-\varepsilon) \sum_{n > x} \frac{\mu(n)^2}{n^\sigma}$$
est vraie. Autrement dit, prétendre que ce $t_\varepsilon$ ne dépend pas de $x$ (ou, ce qui revient au même, prétendre que ses ensembles $T_\varepsilon(x)$ ne sont jamais vide quel que soit $x \geqslant 1$) me paraît hautement improbable.
Merci noix de totos pour les précisions, cette erreur m'avait échappée. Comme tu le dis, ce qui mène à la proposition 8 est vraiment tordu pour rien !
L'erreur que j'avais repéré était dans la démonstration du lemme 7 et est du même style que celle que tu pointes. À partir du moment où il suppose $\sigma \alpha(x) < A(x)$, il fait le raisonnement suivant à $x$ (et $\sigma$, même si ce n'est dit nulle part) fixés : ou bien $$\left| \int_x^{\infty} \frac{M(u)}{u^{\sigma + 1 +it}} \,du \right| \leq \frac{\sigma \alpha(x)}{|\sigma + it|},$$ ou bien $$\frac{\sigma \alpha(x)}{|\sigma + it|} < \left| \int_x^{\infty} \frac{M(u)}{u^{\sigma + 1 +it}} \,du \right|.$$ Mais c'est sans compter sur la dépendance en $t$ qui est négligée. Plus précisément, pour chaque $t$, seule l'une de ces deux inégalités est vérifiée, mais rien ne permet d'affirmer que l'on peut prendre la même pour tous les $t$, ce qui est obligatoire pour aboutir à une contradiction avec les définitions de $\alpha$ et $A$.
Comme il n'y avait pas besoin de sa majoration plutôt tordue, j'ai sauté toutes les étapes menant à celle-ci.
En fait, le noeud du problème est dans la Proposition 2 (et la 3, par voie de conséquence) : il a voulu obtenir un résultat similaire à celui du Theorème 8.7 de Titchmarsh (sa Proposition 1), à la différence près est que celui de Titchmarsh porte sur les série de Dirichlet, alors que le sien porte sur des sommes partielles (ici, plus précisément des restes) de telles séries.
On a donc là un problème d'uniformité en $x$ de son inégalité (l'auteur en est manifestement bien conscient, puisqu'il essaie de prendre quelques précautions avec ce $x$ qui apparaît), ce qui fait toute la différence entre celle de Titchmarsh (Proposition 1), qui est vraie, avec la sienne (Proposition 2), qui n'est pas démontrée.
Je suggère par ailleurs à tous ceux que ça intéresse d'aller voir le livre de Titchmarsh comment il démontre ce Théorème 8.7, la preuve n'est pas immédiate.
La base de l'argumentation repose sur une démonstration par l'absurde menant à la contradiction.
Considérons la fonction composite de s, donnée par : (3.1) $F(s)= T\{1+ \zeta (s + b)\} -1$
En utilisant la fonction composite de (3.1) avec un zéro à b, hors de la ligne critique, nous avons
trouvé un autre zéro b ' qui divise par deux la distance $|s-\frac {1}{2}|$ à la ligne critique.
Continuer ce processus donne une suite infinie de zéros distincts, convergeant vers un point (sur
la ligne critique). Mais une fonction analytique qui disparaît sur une telle séquence infinie doit
être identique à zéro
Or, la position des zéros n'est pas justifiée tel le garant de la convergence d'une séquence infinie.
pas le temps ou ne serait-ce que le niveau pour lire les articles d'Atiyah. En revanche, je serais curieux de savoir si Alain Connes y a jeté un oeil. A ce propos, j'ai fait une recherche google qui m'a mené vers un forum américain sur lequel quasiment tous les intervenants défendaient l'article (les articles) d'Atiyah "parce qu'il a la médaille Fields" (et qu'il est le seul à l'avoir avec le prix Abel à part Wiles) [sic].
Bon, ça me fait juste dire que ce forum est réellement d'une excellente tenue.
Réponses
Dixit : "Tomorrow Atiyah will talk about his claimed proof of the Riemann Hypothesis.
It's all about "the music of the primes". Here the function that counts primes < n is being approximated by waves whose frequencies come from zeroes of the Riemann zeta function.
I bet that Atiyah's claimed proof, if and when he writes it up, will not convince experts.
In 2017 he claimed to have a 12-page proof of the Feit-Thompson theorem, which usually takes 255 pages:
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/atiyahtimes2017.pdf …
He showed it to experts, and... silence.
(continued)
In 2016 Atiyah put a paper on the arXiv claiming to have solved a famous problem in differential geometry. The argument was full of big holes:
https://mathoverflow.net/questions/263301/what-is-the-current-understanding-regarding-complex-structures-on-the-6-sphere …
So, I'm not holding my breath this time.
But of course I'd be happy to be wrong."
"The Riemann zeta function is zero for some numbers with 0 < Re(s) < 1. These are called the "nontrivial zeros" of his zeta function.
Riemann computed a few and hypothesized they all have Re(s) = 1/2.
Riemann found a formula for the number of primes < n as a sum over the nontrivial zeros of the zeta function.
My first tweet shows the sum over the first k nontrivial zeros.
So, if the Riemann Hypothesis is true, we'll get a better understanding of primes!
So far people have checked, using a computer, that the first 10,000,000,000,000 nontrivial zeros of the Riemann zeta function have Re(s) = 1/2.
This might seem like damned good evidence for the Riemann Hypothesis.
But maybe not!"
"
Le lien ne marche pas où je suis (à Beijing). Une personne pourrait-elle télécharger le preprint ? J'ai vraiment envie de le lire.
Merci @Poirot pour le document. Je suis agacé qu'il se réfère à une fonction $T$ sans la décrire (en renvoyant à un autre papier non encore publié dont il est lui-même l'auteur) : c'est du foutage de gueule sur une preuve de RH.
Et il utilise de nombreuses propriétés que je ne comprends pas (mon niveau est insuffisant). Bon, j'attends de lire ce que deviendra sa preuve dans quelques semaines.
Au passage, des gens ont cherché à calculer le $\alpha$ prédit par ce papier, et trouvent des choses à des années-lumières de la vraie constante de structure fine. Bref, c'est du grand n'importe quoi.
Après tout, Gödel a fini sa vie en étant complètement fou et cela n'a pourtant rien enlevé à son statut de génie.
Il n'empêche que tout ça doit probablement mettre la communauté mathématique dans un certain malaise. Il faudra qu'un mathématicien "de référence" accepte de se sacrifier et de jouer le méchant en annonçant officiellement le grand n'importe quoi de tous ces articles.
...
Bon, j’ai lu les documents. Mazette ! Que de bêtises dans ces pages : non seulement il écrit n’importe quoi mais en plus il s’attaque à la physique ! Là c’en est trop. J’ai lu sur Wikipedia son profil et le gars n’est pas vraiment un nul. C’est donc le grand âge et la volonté de montrer qu’il peut encore faire des découvertes qui sont à l’oeuvre. C’est du Shtam, mais à lire avec tendresse et bienveillance.
...
D'ailleurs je suis plutôt content de cette conférence car j'ai trouvé un bel interview d'Atiyah https://www.johndcook.com/blog/2013/09/24/interview-with-sir-michael-atiyah/ qui date de 5 ans. Il a écrit plusieurs papiers magnifiques, donc le fameux "Yang-Mills equations on Riemann surfaces" qui mélange beaucoup de maths magnifiques présentes en physique mathématique.
M.
"La musique
des primes
chante aussi
doucement
que jamais.
La muse
d'Atiyah,
hélas,
l'a quitté."
Je l'ai !
Êtes-vous certain à 100% que dans le papier d'Atiyah il ne résout pas HR ?
Es-tu sûr à 100% que le soleil va se lever demain matin?
Oui, c’est sûr à 100%. Son papier ne contient pas de preuves mathématiques. En gros, soit ce sont des bétises, soit ce sont des phrases du type : [ si $1=1$, alors $RH$ ] (sans démonstration).
Avec un peu d’honnêteté intellectuelle, il pourrait lister ces hypothèses et écrire :
Si a et b et c et...., alors RH. Et laisser au lecteur le soin de vérifier l’implication et de valider ces hypothèses. Le problème est que les hypothèses supposent l’existence de trucs et de machins et on tombe alors dans du grand n’importe quoi :
Si il existe une fonction f telle que [si f(1)=1, alors RH], et si f(1) ne prend que les valeurs 0 ou 1, et si f(1) ne prend pas la valeur 0, alors RH.
Bref, son papier présente sans doute une idée, une trame d’un possible travail de recherche. Mais à son âge, il sait ce qu’est une preuve et ce qui ne l’est pas. Visiblement il s’en fout aujourd’hui... et il n’écoute pas son entourage mathématique qui doit en avoir assez de le raisonner.
Son papier sur la constante de structure fine est un foutage de gueule, grandiose et sidérant. Un chef d’oeuvre de Shtam à lire et relire.
Untel dénommé Hirzebruch a défini des exponentielles sur le corps Q.
Il a montré que chacune de telle exponentielle a sa fonction génératrice.
Une fonction analytique implique l'extension du processus de Q vers R.
La résultante comme théorème index en découle de la forme Tr(-1)^F?
Des physiciens de l'université de Californie ont quand même manifesté leur agacement.
La revue "Science" rapporte qu'en 2017, Atiyah prétendait avoir transformé les 255 pages de la démonstration du théorème de Feit-Thomson en 12 pages simplifiées.
Peu de temps après il annonçait avoir résolu un problème majeur de géométrie différentielle. Les deux "preuves", unanimement jugées "aberrantes", ne furent jamais publiées.
...
Atiyah y raconte leur collaboration autour d'une généralisation du théorème de Riemann-Roch. Elle commence à Princeton en 1954.
A cette époque, il domine visiblement son sujet
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/noticesAMS/noticesAMS_Hirzebruch.pdf
Vous avez dit canular ?
Cdlt, Hicham
Il faut que la communauté soupèse dans la balance la réfutation ouverte de l'hypothèse de Riemman par l'enseignant d'un lycée en mars dernier.. B-)
C'est quoi cette histoire ?
Pour le papier précédent que prétend démontrer la réfutation de RH, il suppose, sans preuve, l'hypothèse 5, équation (16).
Donc la structure de ce papier est : si RH est fausse, alors RH est fausse.
Qu’est-ce qui pousse des gens à donner un titre qui ne correspond pas au contenu de leur papier ?
J'ai passé une vingtaine de minutes à regarder le papier, il y a une vraie faute dans la démonstration du lemme 7, je laisse le lecteur perspicace la trouver ;-) De manière générale il y a un vrai problème de quantification qui nuit à la compréhension, une petite erreur de calcul dans (28), et je trouve extrêmement bizarre que le $\sigma$ ne joue au final aucun rôle...
S'agit il du même : Claude Henri Picard ?
Cordialement,
Rescassol
Point 2:
C'est un exercice de corrélations :
- résidant à Givry en Saône-et-Loire (71) en Bourgogne-Franche Comté (d'après le texte 2).
- enseignant les mathématiques au lycée à Gueugnon en Saône-et-Loire (d'après le texte 1).
Ceci n'est donc pas contradictoire.
Point 1:
Si souci il y a, au Lemme 6, il se retrouve au Lemme 7, sauf s'il s'agit de définir B(x) vs. A(x)!
Ok j’avais mal lu.
Je crois qu’il utilise $z=\sigma +it$ avec $\sigma >1$ pour assumer la convergence absolue. Puis sans l'écrire, il change la notation en $z=\sigma +it+1$ et donc $\sigma>0$ : je crois donc que le signe positif et la non-nullité de ce dernier $\sigma$ sont corrects.
Dans sa conclusion de la proposition 8, il obtient $ x^{1-\beta}/(\sigma-1)$ et écrit que cette quantité tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque $1-\beta>0$, mais comment établit-on le signe de $\sigma-1$ ? A-t-il confondu ses notations ?
@YvesM : Tu l'as dit toi-même, $\sigma > 1$ donc $\sigma - 1 > 0$...
personne ne l'ayant dit: "La vieillesse est un naufrage". :-(
F.D.
1. Comme il travaille à $s$ fixé (si j'ai bien compris) avec $\sigma := \textrm{re}(s) > 1$, tout son cheminement menant à l'inégalité de la Proposition 8 est inutile (et même douteux en ce qui concerne les quantifications) : la majoration simple
$$\left| \int_x^\infty \frac{M(u)}{u^{s+1}} \textrm{d}u \right | \leqslant \frac{m(\sigma) x^{\beta-\sigma}}{\sigma - \beta}$$
aurait été suffisante. Il suffit alors d'ajouter un $|s|$ au numérateur du membre de gauche de l'inégalité qui suit (30) et de la $1$ère fraction de (31).
2. Le résultat de (28) est correct, sauf que si l'on veut vraiment être pointilleux, ce calcul concerne plutôt la somme $\sum_{n > x}$. Mais ça ne change rien au résultat final.
3. Un papier qui prétend infirmer l'Hypothèse de Riemann avec uniquement des majorations grossières du type $\mu(n)^2 \leqslant 1$ et $x^{\beta - \sigma} \leqslant 1$ (voir (18)), ou utilisant l'estimation très connue (voir (27))
$$\sum_{n \leqslant x} \mu(n)^2 = \frac{x}{\zeta(2)} + O \left( \sqrt x \right)$$
qui, je le rappelle, n'est pas la meilleure qui soit puisque le Théorème des Nombres Premiers permet de remplacer le terme d'erreur par $O \left( \sqrt{x} e^{-c (\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5}} \right)$, un tel papier, disais-je, doit être considéré comme suspect. En l'occurrence, ce qui ne va pas ici, à mon sens, c'est la minoration de (30).
Plus précisément, l'erreur vient du mauvais emploi des quantificateurs dans les démonstrations des Propositions 2 et 3, qui sont le coeur de la démonstration du résultat principal de ce manuscrit : l'auteur montre que l'assertion
$$\forall \varepsilon \in \left]0,1 \right [, \ \forall t > 0, \ \forall \sigma > 1, \ \forall x > 1, \quad \left| \sum_{n > x} \frac{\mu(n)}{n^{\sigma + it}} \right| < (1-\varepsilon) \sum_{n > x} \frac{\mu(n)^2}{n^\sigma}$$
est fausse. De là, il en déduit que
$$\forall \varepsilon \in \left]0,1 \right [, \ \exists t_\varepsilon > 0, \ \forall \sigma > 1, \ \forall x > 1, \quad \left| \sum_{n > x} \frac{\mu(n)}{n^{\sigma + it}} \right| \geqslant (1-\varepsilon) \sum_{n > x} \frac{\mu(n)^2}{n^\sigma}$$
est vraie. Autrement dit, prétendre que ce $t_\varepsilon$ ne dépend pas de $x$ (ou, ce qui revient au même, prétendre que ses ensembles $T_\varepsilon(x)$ ne sont jamais vide quel que soit $x \geqslant 1$) me paraît hautement improbable.
L'erreur que j'avais repéré était dans la démonstration du lemme 7 et est du même style que celle que tu pointes. À partir du moment où il suppose $\sigma \alpha(x) < A(x)$, il fait le raisonnement suivant à $x$ (et $\sigma$, même si ce n'est dit nulle part) fixés : ou bien $$\left| \int_x^{\infty} \frac{M(u)}{u^{\sigma + 1 +it}} \,du \right| \leq \frac{\sigma \alpha(x)}{|\sigma + it|},$$ ou bien $$\frac{\sigma \alpha(x)}{|\sigma + it|} < \left| \int_x^{\infty} \frac{M(u)}{u^{\sigma + 1 +it}} \,du \right|.$$ Mais c'est sans compter sur la dépendance en $t$ qui est négligée. Plus précisément, pour chaque $t$, seule l'une de ces deux inégalités est vérifiée, mais rien ne permet d'affirmer que l'on peut prendre la même pour tous les $t$, ce qui est obligatoire pour aboutir à une contradiction avec les définitions de $\alpha$ et $A$.
Comme il n'y avait pas besoin de sa majoration plutôt tordue, j'ai sauté toutes les étapes menant à celle-ci.
En fait, le noeud du problème est dans la Proposition 2 (et la 3, par voie de conséquence) : il a voulu obtenir un résultat similaire à celui du Theorème 8.7 de Titchmarsh (sa Proposition 1), à la différence près est que celui de Titchmarsh porte sur les série de Dirichlet, alors que le sien porte sur des sommes partielles (ici, plus précisément des restes) de telles séries.
On a donc là un problème d'uniformité en $x$ de son inégalité (l'auteur en est manifestement bien conscient, puisqu'il essaie de prendre quelques précautions avec ce $x$ qui apparaît), ce qui fait toute la différence entre celle de Titchmarsh (Proposition 1), qui est vraie, avec la sienne (Proposition 2), qui n'est pas démontrée.
Je suggère par ailleurs à tous ceux que ça intéresse d'aller voir le livre de Titchmarsh comment il démontre ce Théorème 8.7, la preuve n'est pas immédiate.
Merci.
Considérons la fonction composite de s, donnée par : (3.1) $F(s)= T\{1+ \zeta (s + b)\} -1$
En utilisant la fonction composite de (3.1) avec un zéro à b, hors de la ligne critique, nous avons
trouvé un autre zéro b ' qui divise par deux la distance $|s-\frac {1}{2}|$ à la ligne critique.
Continuer ce processus donne une suite infinie de zéros distincts, convergeant vers un point (sur
la ligne critique). Mais une fonction analytique qui disparaît sur une telle séquence infinie doit
être identique à zéro
Or, la position des zéros n'est pas justifiée tel le garant de la convergence d'une séquence infinie.
pas le temps ou ne serait-ce que le niveau pour lire les articles d'Atiyah. En revanche, je serais curieux de savoir si Alain Connes y a jeté un oeil. A ce propos, j'ai fait une recherche google qui m'a mené vers un forum américain sur lequel quasiment tous les intervenants défendaient l'article (les articles) d'Atiyah "parce qu'il a la médaille Fields" (et qu'il est le seul à l'avoir avec le prix Abel à part Wiles) [sic].
Bon, ça me fait juste dire que ce forum est réellement d'une excellente tenue.
Amicalement,
F.D.