géométrie avant et après le bac

Je reprends dans ce fil la discussion sur la place de la géométrie dans l'enseignement secondaire et supérieur qui a été initiée dans le fil "Droites concourantes 5". Voici un récapitulatif des messages auxquels j'ai répondus sur la question.

Pappus :

Est-ce normal qu'elle soit tombée dans un oubli complet? Je pense que non!
Est-ce normal que montrer en dimension 1 qu'une application est affine soit mission quasiment impossible! Je pense que non!
Est-ce normal d'oublier la géométrie comme illustration de l'algèbre? Je pense que non!
Est-ce normal de limiter la géométrie affine aux théorèmes de Ménélaüs et de Céva? Je pense que non!
Est-ce normal d'avoir mis la géométrie projective aux oubliettes? Je pense que non!
On pourrait continuer longtemps ainsi!

cc :
ça vaut la peine d'argumenter du pourquoi tu as raison de dire "je pense que non"

JLT :
1) La géométrie projective comporte plus de symétries que la géométrie affine. Autrement dit, toute transformation affine est également une homographie. Ceci permet de disposer d'outils tels qu'envoyer un point ou une droite à l'infini, et de simplifier considérablement des certaines démonstrations qui seraient pénibles en géométrie affine. De même, la classification des coniques est beaucoup plus simple en projectif qu'en affine.

2) Tout énoncé en géométrie projective a un énoncé dual. On en a donc deux pour le prix d'un.

3) Connaître un peu la géométrie projective prépare à la notion de variété algébrique projective, qui est importante en géométrie algébrique (ne pas me demander pourquoi).

4) Travailler en projectif revient en général à travailler avec des équations homogènes, ce qui est plus agréable qu'en affine car les équations possèdent plus de symétries.

On pourrait trouver bien d'autres justifications à enseigner la géométrie projective. Mais la raison pour laquelle on ne l'enseigne plus est que les étudiants n'y comprenaient pas grand chose, et cela à cause de la disparition progressive de la géométrie (affine, Euclidienne) dans le secondaire. On ne peut pas apprendre à courir avant d'apprendre à marcher.

Pappus :
A défaut d'enseigner la géométrie au Lycée, ne pourrait-elle pas l'être en L1 et L2?

JLT :
Les concepteurs des programmes de L1 et L2 sont confrontés à un certain nombre de contraintes :

1) Le ministère impose que la première année soit, en partie ou en totalité (=le premier semestre ou toute l'année), un portail commun à plusieurs disciplines scientifiques afin d'éviter une spécialisation trop précoce. Le programme doit être conçu en concertation avec les autres disciplines qui réclament des maths "utilitaires". En outre, le nombre d'heures de math est réduit en première année car les autres disciplines doivent être représentées à part égale dans le portail commun.

2) L'université limite le nombre d'heures d'enseignement (de l'ordre de 600 heures par étudiant et par an, cela dépend des universités) car les crédits ne sont pas illimités.

3) Le programme des licences comporte obligatoirement des modules autres que les maths : unités d'ouverture, unités libres, langues, informatique, sans oublier la "méthodologie" et d'autres choses inutiles.

4) Le nombre et le volume horaire des modules ne peut pas être arbitrairement fixé, mais est soumis à plusieurs contraintes.

5) Certains enseignants-chercheurs n'ont pour but que de placer dans les programmes les cours qu'ils souhaitent enseigner, et non les cours qui seraient les plus utiles aux étudiants.

6) L'algèbre, l'analyse et les probabilités et statistiques doivent aussi être enseignés.

Le résultat c'est que, de la géométrie en L1 et L2, il y en a, mais pas énormément.

gai requin :
Dans tous les cas, au lycée, ont disparu des programmes ces dernières années :
1) Les barycentres, les transformations du plan et les démonstrations qui utilisent l'outil vectoriel.
Dorénavant, on se place dans un repère du plan ou de l'espace et on calcule (mal).
2) Les derniers reliquats d'algèbre qu'on pouvait trouver dans quelques questions de dénombrement.
Les élèves de S non spécialistes savent seulement qu'il existe un nombre $ i$ tel que $ i^2=-1$, propriété évidemment admise.
3) Les équations différentielles, l'intégration par parties et les suites adjacentes (inutiles pour certains mais qui permettaient de construire proprement l'exponentielle et de justifier le théorème des valeurs intermédiaires).

Un étudiant se destinant à l'enseignement dans le secondaire n'a donc besoin que d'infimes connaissances en géométrie affine, euclidienne, projective ou différentielle ou même en algèbre.

Je vous laisse le soin de décrire les besoins des autres étudiants en maths.

JLT :
il ne faut pas faire de raisonnement du genre "il n'y a pas de géométrie au lycée, donc supprimons-la du concours du CAPES et de l'agrégation, et donc ne l'enseignons plus à la fac". On est actuellement dans un cercle vicieux

Il y a très peu de géométrie au lycée --> les étudiants de fac sont mauvais en géométrie --> ils sont mauvais aux concours du CAPES et de l'agreg --> on supprime la géométrie du concours --> il n'est plus nécessaire d'enseigner la géométrie à la fac.

Une génération plus tard, presque personne passé par le système éducatif français n'aura reçu suffisamment de culture géométrique de base, que ce soit au lycée ou à la fac. Et comme on ne met dans les programmes que ce qu'on connaît, les concepteurs des programmes de lycée et de Licence seront de plus en plus réticents à y mettre de la géométrie.

gai requin :
Les enseignements à la fac sont-ils autant subordonnés aux programmes des concours de l'enseignement ?

JLT :
Ils le sont de moins en moins puisqu'il y a de moins en moins de candidats aux concours de l'enseignement. Mais je parlais uniquement de la partie "géométrie" (au sens de la géométrie affine/euclidienne/projective traditionnelle). Cette partie du programme, en dehors de quelques concepts fondamentaux, n'est pas tellement utile dans les autres sciences ou en ingénierie (je ne crois pas qu'il y aura un jour d'application industrielle du cercle d'Euler). L'intérêt principal de la géométrie est de former les jeunes (collégiens, lycéens) à la recherche et la rédaction de démonstrations mathématiques. Pour cela il faut que les enseignants du secondaire soient bien formés. Je ne vois que ça comme argumentaire en faveur de "mettre plus de géométrie en L1 et L2", mais c'est déjà assez important pour les générations futures pour qu'on le prenne en considération.

Et je m'aperçois bien que beaucoup d'enseignants de fac ne sont pas du même avis que moi.

gai requin :
Et comment expliques-tu la disparition quasi-totale de l'algèbre des programmes du lycée alors que, pour le coup, les concepteurs desdits programmes ont quand même du recevoir une formation conséquente en algèbre ?

JLT :
Je suis d'accord sur le fait que pour mettre quelque chose dans un programme, il est *nécessaire*, mais pas *suffisant*, d'en maîtriser le contenu.

Je ne connais pas en détail les programmes du secondaire, mais j'aurais tendance à penser qu'on met moins d'algèbre parce que

1) Il y a de moins en moins d'heures de math tout court
2) On a mis de l'algorithmique et des probas-stats

et donc il n'y a plus de place pour mettre de l'algèbre.

gai requin :
Le 1) n'est pas vrai : un élève de TS a 6 heures de maths par semaine +2 heures s'il est "spécialiste".

Pour le reste, j'ai crois plutôt qu'on a d'abord fait disparaître assez brutalement l'algèbre des programmes (au moment de la disparition des terminales C,D et E) puis plus progressivement la géométrie.
Comme il faut quand même avoir un programme, on a ensuite rajouté une bonne dose de proba-stat saupoudrée d'une cuillérée d'algorithmique.