Droites concourantes 5

Bonjour,

Et avec Morley, on a:
$\displaystyle l=\dfrac{s_2m^2+2s_1s_3m\overline{m}+s_3^2\overline{m}^2-(s_1s_2+s_3)m-2s_2s_3\overline{m}+s_2^2-s_1s_3}{2s_3(m\overline{m}-1)}$

Cordialement,

Rescassol

Je suis toujours paresseux de devoir montrer que trois points sont alignés ou que trois droites sont concourantes car c'est souvent la même histoire, Ménélaüs ou Céva, répétée ad nauseam.
Mais comme Pierre s'est intéressé à la question, je me suis dit qu'elle sortait de l'ordinaire et que cela valait la peine de se fatiguer!
Comme d'habitude car il est un peu cachottier, il nous a donné sans démonstration une mirifique formule:
Si M =p:q:r, alors
$L\simeq \begin {pmatrix}
p(S_bq + S_cr)\\ q(S_cr+S_ap)\\r(S_ap+S_bq)
\end{pmatrix}
$.
Cette transformation est une bijection (au sens de Cremona).
Comme je lui fais une confiance absolue, j'ai essayé de comprendre cette formule à défaut de pouvoir la démontrer!
Ce que Pierre a voulu dire en parlant de Crémona, c'est que cette transformation est quadratique et effectivement les trois coordonnées de $L$ sont des formes quadratiques en celles de $M$.
Le point $M' = (qr:rp:pq)$ est l'isotomique de $M$ et les coordonnées de $L$ dépendent linéairement de celles de $M'$; autrement dit on passe de $M$ à $M'$ par l'isotomie puis de $M'$ à $L$ par une transformation projective, hélas non affine.
Je me suis dit que les participants du forum seraient frustrés puisque ces transformations projectives sont devenues hors la loi depuis des décennies.
Je me suis demandé ce qui se passerait si on remplaçait le point $M'$ par le point $M'' =(a^2qr:b^2rp:c^2pq)$.
Le point $M''$ est l'isogonal de $M$ et les coordonnées de $L$ dépendent encore linéairement de celles de $M''$.
On passe donc de $M$ à $M''$ par l'isogonie (ou l'isogonalité) puis de $M''$ à $L$ par une transformation projective mais qui cette fois est (provisoirement pour combien de temps encore?), dans nos cordes car elle est affine.
D'où les questions subsidiaires suivantes, (qui pourraient être théoriquement posées dans un problème d'écrit de l'agrégation mais que nos agrégatifs se rassurent, on peut démontrer sans utiliser l'axiome du choix que cette probabilité est rigoureusement nulle):
1° Pourquoi l'application $M'' \mapsto L$ est-elle affine?
2° Quelle est l'image du triangle $ABC$ par cette application affine?
Cette image est évidemment un autre triangle que les sectateurs de la géométrie du triangle connaissent parfaitement!

Il serait intéressant de faire le lien entre la décomposition de Pierre et la mienne
(dont je connais évidemment la démonstration), mais celle de Pierre est plus jolie car sa transformation affine (qui n'est pas une similitude) ne dépend pas de $M$ alors que ma similitude indirecte en dépend.
A défaut de donner pour le moment une démonstration de ma décomposition, je vais vous dire comment je l'ai trouvée.
Tout simplement en utilisant Cabri et je reprends les notations de mon dernier message.
Tout d'abord une longue habitude de la géométrie du triangle m'indiquait que les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ étaient indirectement semblables. Comme le point d'intersection $M''$ était obtenu à partir des céviennes $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$, il était naturel de regarder où se trouvait le point $M' = s^{-1}(M'')$ où $s$ était la similitude indirecte $ABC \mapsto A_1B_1C_1$.
Là encore une grande maitrise de Cabri m'indiquait que $M$ et $M'$ étaient isogonaux.
Quant à la démonstration, ce n'est qu'une simple chasse aux angles facilitée par l'existence du seul cercle de la figure.
Par contre je serais curieux de connaitre la démonstration de Pierre!
Je pense que ma décomposition est aussi bien adaptée pour prouver la formule de Rescassol.
Amicalement
Pappus

Bonjour,

message retiré en attendant que la discussion soit recentrée sur son objet

Cordialement, Pierre.

Ce n'est pas du tout chagrinant de voir l'algèbre linéaire s'appliquer, mais je pousse un grognement de mécontentement avant d'aller au dodo (demain, suis pas sûr de me connecter), et je jure sur l'honneur qu'il n'y a aucune rancune dans mon tempérament (ie ça aurait pu être pldx ou n'importe qui d'autre):

1) voilà bien un énoncé ultrasimple à comprendre et tout à fait séduisant à cause du point M qu'on peut mettre où on veut.

2) En 5mn, geogebra "confirme"

3) il n'est pas exclus qu'il soit difficile à prouver.

4) Mais tout de même: pldx, as-tu conscience de ce qu'est une preuve de science???????? (Je t'envoie un MP pour te dire un commentaire, sans te dire quel célèbre géomètre l'a fait, à propos de tes posts "assistés par ordinateur", car là, je peux me tromper mais comment crois-tu qu'un lecteur non ultrahyperexpert en géométrie puisse être convaincu?)

5) D'une manière générale, Pappus toi qui te plains parfois que la géométrie soit maltraitée dans sa présentation au grand public, je trouve que présentement, ce fil*** ressemble à "attention, fil réservé à géomètres-experts-niveau++++++++++++, les autres passez votre chemin".

6) Peut-être me trompe-je, mais l'énoncé est tellement facile à comprendre qu'on se dit que ce serait l'occasion que les "experts" s'abaissent à l'essai d'en prouver la vérité au commun des mortels (dont la culture s'arrête à mon avis en gros à la droite d'Euler). Il se peut que ce ne soit pas possible assez courtement

*** je parle évidemment des messages de pldx, j'ai vu que tu (toi Pappus) as proposé une preuve simple en quelques lignes utilisant des choses assez accessibles

Mon cher christophe
Je reconnais comme toi que la prose de Pierre est assez hermétique mais la faute à qui s'il te plait?
Toutes les techniques qu'il utilise sont au programme de l'agrégation.
Toute la géométrie envisagée dans l'exercice de Bouzar est au programme de l'agrégation, ce n'est que de la vulgaire géométrie euclidienne, plane qui plus est.
Alors la faute en revient à ceux qui mettent hypocritement de la géométrie dans les programmes de l'agrégation en sachant pertinemment qu'elle n'a plus été enseignée depuis des décennies et qu'elle ne le sera plus jamais dans le futur car il est maintenant trop tard pour former des professeurs compétents dans ce domaine par manque de formateurs!
J'ai l'impression que les responsables de cet immense et irrémédiable gachis connaissent sur le bout des doigts le programme d'Erlangen mais seulement pour le détricoter.
Amicalement
Pappus

Merci, Jean-Louis, de nous envoyer ce message depuis les antipodes.
Je signale aux visiteurs de ce forum que le site de Jean-Louis AYME est le meilleur endroit pour se familiariser aux méthodes de la géométrie synthétique qui ont disparu à jamais de notre enseignement!
Jean-Louis a aussi écrit un livre qu'on se doit de posséder:


Méthodes & Techniques en Géométrie
à propos de la droite de Newton

publié chez ellipses en 2003
ISBN 2-7298-1585-6


Pour en revenir à la discussion avec Christophe, et je l'ai déjà dit, il a été inepte d'avoir rompu le lien ombilical entre Algèbre et Géométrie.
Toutes les difficultés de nos étudiants en Algèbre proviennent de cette erreur fatale.
Ils n'ont plus les connaissances géométriques nécessaires pour illustrer celles, indispensables, qu'ils ont en algèbre.
Par exemple dans le (misérable?) exercice de Bouzar, et je le qualifie de misérable car il ne s'agit après tout que de montrer que trois droites sont concourantes ou parallèles, ils ne peuvent ni se servir de l'algèbre linéaire comme Pierre ni utiliser des méthodes synthétiques comme moi, est-ce normal?
Dans les questions subsidiaires que j'ai posées à propos de la figure de Bouzar, je demande de montrer que l'application $AC \longmapsto AB; b \mapsto c$ est affine. Vous vous rendez compte, une misérable application d'une droite dans une autre droite!
Je suis prêt à parier qu'on peut compter sur les doigts de la main ceux de nos agrégatifs capables de rédiger en quelques lignes une solution claire de cette (minuscule) question et pourtant ils connaissent tous parfaitement et la définition d'un espace affine et celle d'une application affine.
Mais voilà dès la modeste dimension 1, ils sont déjà largués!
Ah, évidemment, ils sont incollables sur le théorème fondamental de la géométrie affine mais à quoi celui-ci leur sert-il en l'occurrence?
Amicalement
Pappus
PS
Ce n'est pas pour rien que j'ai introduit ces TGV dans la figure de Bouzar car ils permettent de donner une preuve synthétique de la décomposition de Pierre!!

@Pappus et JLT: déjà merci à JLT qui a dit exactement, à propos de l'utilisation des machines puissantes en 2012 une de mes pensées. Il faut être conscient que ce nouvel outil autant dans la réflexion que dans la présentation finale n'est pas anodin. Par ailleurs pldx n'introduit pas ses posts en disant "attention, pour info, je vous livre le listing mapple (ou autre) obtenu en rentrant ceci et cela" (avertissement qui permettrait peut-être à certains lecteurs une autre approche)

Pappus: Toute la géométrie envisagée dans l'exercice de Bouzar est au programme de l'agrégation, ce n'est que de la vulgaire géométrie euclidienne, plane qui plus est.
Alors la faute en revient à ceux qui mettent hypocritement de la géométrie dans les programmes de l'agrégation en sachant pertinemment qu'elle n'a plus été enseignée depuis des décennies et qu'elle ne le sera plus jamais dans le futur car il est maintenant trop tard pour former des professeurs compétents dans ce domaine par manque de formateurs!

L'énoncé est très simple, tu as fourni je crois une preuve ou idée de preuve très basique, c'est vrai, mais:

- pldx a lui posté des posts beaucoup plus techniques et "assistés par ordinateur" (voir ci-dessus sur la perplexité éventuelle du lecteur moyen)

- Même des choses au programme du CP très étendues et très détaillées par un logiciel pourraient s'avérer pas très probantes s'il n'y a pas de "donc", de "car" et des soulignements d'hypothèses, des évidences bien signalées, des choses admises bien signalées, etc

- l'agrégation ou je ne sais quoi d'autre d'institutionnel n'est pas une référence, surtout aujourd'hui: il y a la crise financière, les concurrents y vont pour trouver un job, ça concerne 1000 gus/an , 50% ou presque qui n'y vont pas en touriste sont reçus, etc, la géométrie pourrait tout aussi bien être considérée comme un domaine noble exigible au capes, etc, d'autant que "programme de l'agreg" ne veut rien dire, c'est un concours, ce sont les gens qui "comptent", le jour où les gens passent l'oral, ils sont tellement stressés qu'ils disent strictement n'importe quoi comme de moyens élèves de 1S et qu'évoquer ainsi un concours c'est du coup compter sur l'intimité de la préparation qui précède, son rôle construisant, etc mais pas sur les quelques marqueurs officiels.

- comme tu dis, de toute façon elle n'est plus enseignée (ou presque)!!!!! Pour que les savoirs-faire et son esprit ne disparaissent pas, il me semble qu'il ne soit pas possible de compter sur... le président de la République ou quelque autre entité un peu institutionnelle

[size=x-small]- Je peux me tromper, mais il me semblait que la géométrie revendiquait une vocation à incarner par de beaux objets dans de beaux mondes idéalisés les raisonnements hypothético-déductifs si indispensables à la science (et rendus obligatoires par sa déontologie). En un certain sens, il m'avait semblé dans le passé qu'elle s'opposait pour un part non négligeable d'élèves voire d'enseignants (mais moi aussi je vieillis: j'ai dû entendre ça y a 10ans) à ce qu'ils croyaient constater comme "une absence de démonstrations dans les calculs ou activités algébriques". Il me parait difficile d'accepter la forme globale des posts de pldx comme des preuves, des démarches hypothético-dductives claires qui partent d'hypothèses et aboutissent à la conclusion cherchée via des "donc". Pour des amoureux de la géométrie, et qui seraient soucieux de la promouvoir, il me semble que la préservation [size=medium]de la visibilité[/size] de cet hypothético-déductif est important. Je suis trop incompétent pour évaluer si même des experts comme toi, JLT, JLA, Rescassol, etc pouvez reconstruire un fil hypothético-déductif à partir du mix humain-machine de pldx, mais je suis sûr que les visiteurs de ce genre de fil, s'ils ne sont pas avertis sur la démarche de pldx vont se sentir un peu écartés, ce qui est dommage quand on sait qu'un de vos buts à tous qui postez dans la rubrique géométrie, c'est pas seulement de vous amuser mais de la présenter aux autres[/size]

- Enfin, en gros, je dirais que ce qui serait important quand X ou Y s'est assisté d'une machine puissante, c'est qu'il le signale et le mette dans une fenêtre encadrée par exemple bien statutée, de sorte que par exemple, ta démonstration à toi Pappus (ou les deux lignes de Rescassol) continuent de pouvoir capter l'attention des visiteurs "qui aimeraient bien, mais se tatent" s'investir en géométrie "pour le plaisir" ou "pour s'y spécialiser professionnellement"

-D je ne critiquais pas du tout l'usage de logiciels, mais voulais témoigner du malaise qu'on ressent quand c'est à la fois hyperlong et assisté par ordi et non dans une forme hypothético-déductive.

Ton post est largement assez court par exemple pour que l'un au moins des ingrédients qui pose un peu problème aux amateurs visitant le forum par google ne soit pas présent. Un autre débat, plus hors-sujet serait "que finalement tire-t-on pour l'entendement humain d'une chose prouvée par un calcul?" (mais je promets de ne pas en parler ici dans ce fil, c'est un joli fil de géométrie, je m'en vais sur la pointe des pieds)

Encore une fois, ce n'est pas l'ordinateur mais Pierre qui conduit ses calculs comme il l'entend.
Une fois les calculs terminés d'une manière ou d'une autre, il faut les interprêter géométriquement et ça, c'est une autre paire de manches
Je ne connais pas le logiciel de calcul formel qu'il utilise mais il est clair qu'il a mis au point un certain nombre de procédures qui lui font gagner beaucoup de temps dans le traitement des problèmes de géométrie. Il nous en a d'ailleurs exposé quelques unes, à nous d'en profiter!
Mais la même question se pose en algèbre, en arithmétique ou en analyse.
Tout bon agrégatif doit savoir se servir de Maple ou de Mathematica pour créer divers programmes calculant le polynôme caractéristique ou la décomposition de Dunford d'un opérateur ou tracer tel flot de champs de vecteurs par la méthode de Runge-Kutta, etc, etc..., alors pourquoi pousser de hauts cris quand il s'agit de géométrie?
Ce que Pierre fait ici devrait faire partie intégrante d'un enseignement moderne de la géométrie!
Il en est de même dans l'utilisation d'un logiciel de géométrie qui ne doit pas se limiter au tracé ou à l'animation des figures mais doit conduire à la découverte de leurs preuves et à la création de macroconstructions.
Amicalement
Pappus

P.S. Je précise tout de même que ce forum n'est pas un forum pour agrégatifs ; rien n'interdit donc de poster des messages de niveau inférieur, ou supérieur, au niveau de l'agrégation. Je mentionne ce concours uniquement parce que pappus y fait référence.

Je vais quand même donner quelques remarques et diverses indications sur ces questions subsidiaires.
En ce qui concerne la première question, elle n'est rendue difficile que par l'abandon stupide de la géométrie projective.
Autrement dit, autrefois pour montrer qu'une application était affine, on montrait d'abord qu'elle était projective puis ensuite qu'elle était affine parce qu'elle conservait les points à l'infini. Ce n'est plus possible de procéder ainsi aujourd'hui!

La deuxième question exige évidemment d'avoir une bonne connaissance de la théorie des TGV et du rôle fondamental joué par le centre aréolaire et l'équicentre.
Dans le cas d'espèce, $M'$ est le centre aréolaire et $L$ est l'équicentre.
Le théorème fondamental de cette théorie, que j'ai dû énoncer dans un autre fil, affirme que si $abc$ est un triangle de la famille des TGV et $f$ l'application affine $ ABC \mapsto abc$, alors $f(M') = L$.
Ceci montre bien la nature de l'application $M \mapsto L$.
On passe de $M$ à $M'$ par isogonie puis de $M'$ à $L$ par l'application affine $f$.
La décomposition de Pierre est obtenue en prenant $\Omega = H$, le triangle $abc$ devenant le triangle orthique, qui lui est indépendant de $M$.
Tout revient donc à montrer que $M'$ est le centre aréolaire et $L$ l'équicentre et c'est pourquoi je faisais allusion à Tipperary, une chanson dont nous allons fêter bientôt le triste centenaire.
Quant à la troisième question, c'est en principe la plus facile, les centres de similitude sont sous vos yeux et il ne reste plus tellement de points sur cette satanée figure.
Qu'ils soient centres de similitudes résulte de la cocyclicité de trois certains quadruplets de points mais j'ai bien pris soin évidemment de ne pas tracer les cercles correspondants sur la figure. Il suffit de faire une petite chasse aux angles sur le seul cercle que vous avez sous les yeux!
Enfin cette troisième question conduit à la solution de la première dans le cadre des programmes actuels: l'application $b \mapsto c$ est affine en tant que restriction à une droite d'une similitude directe qui est affine.
Amicalement
Pappus
PS
A défaut de montrer la deuxième question, vous pouvez toujours vérifier avec GeoGebra le rôle joué par les points $M'$ et $L$ par rapport aux triangles $abc$. Ce n'est pas si évident que cela en a l'air!

Bonjour,

message retiré en attendant que la discussion soit recentrée sur son objet

Cordialement, Pierre

Bravo, Pierre!
Je n'en attendais pas moins de toi!
Tu as une méthode qui marche et tu t'y tiens!
Il serait peut-être bon d'en faire partager la communauté d'une façon différente que sur le forum qui ne se prête pas très bien à des calculs détaillés.
Merci aussi à Rescassol, le forcené du truc de Morley pour ses brillants calculs.
C'est amusant de voir comment ce "misérable" exercice a pu nous conduire si loin.
Je ne pensais pas en le lisant au début que j'aurais l'occasion d'y voir les transformations de Crémona cotoyer mes TGV!
Bien sûr, on peut les présenter de façon légèrement différente de la tienne mais tu as prouvé l'essentiel, encore une fois, bravo!
Il se trouve que ce matin, j'ai quitté ma yourte et pris les Grands Chemins de Traverse en empruntant la Télègue (soit disant à) Grande Vitesse.
Tu te doutes bien que cette terminologie de TGV n'est qu'une plaisanterie et qu'on peut présenter les choses de manière à contenter Nicolas (Bourbaki) mais je dois faire face à plein de néologismes, par exemple comme le centre aréolaire et il y a plein d'autres points qui interviennent encore dans cette théorie.
Maintenant pourquoi ai-je eu l'intuition que les TGV fourniraient une preuve de ta décomposition?
Ce n'est tout simplement qu'une question de culture géométrique car la figure proposée par Bouzar n'est que la fameuse configuration des trois similitudes:
Les points $A_2$, $B_2$, $C_2$ sont les centres de similitude. Le cercle $\Gamma$ est le cercle de similitude. Les points $A_1$, $B_1$, $C_1$ sont les points invariables. Le point $L$ est le point directeur, etc, etc..
On peut dire que cette configuration est en géométrie du triangle la Mère de toutes les Configurations.
Est-ce normal qu'elle soit tombée dans un oubli complet? Je pense que non!
Est-ce normal que montrer en dimension 1 qu'une application est affine soit mission quasiment impossible! Je pense que non!
Est-ce normal d'oublier la géométrie comme illustration de l'algèbre? Je pense que non!
Est-ce normal de limiter la géométrie affine aux théorèmes de Ménélaüs et de Céva? Je pense que non!
Est-ce normal d'avoir mis la géométrie projective aux oubliettes? Je pense que non!
On pourrait continuer longtemps ainsi!
Amicalement
Pappus
PS
Une fois revenu au milieu de mes yacks, je pourrai proposer de nouvelles figures.
En particulier vont apparaitre de nombreuses macro-constructions sur lesquelles nous pourrons réfléchir!

Voir ce fil :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,774553,774553#msg-774553

A défaut d'enseigner la géométrie au Lycée, ne pourrait-elle pas l'être en L1 et L2?
Amicalement
Pappus

Dans tous les cas, au lycée, ont disparu des programmes ces dernières années :
1) Les barycentres, les transformations du plan et les démonstrations qui utilisent l'outil vectoriel.
Dorénavant, on se place dans un repère du plan ou de l'espace et on calcule (mal).
2) Les derniers reliquats d'algèbre qu'on pouvait trouver dans quelques questions de dénombrement.
Les élèves de S non spécialistes savent seulement qu'il existe un nombre $i$ tel que $i^2=-1$, propriété évidemment admise.
3) Les équations différentielles, l'intégration par parties et les suites adjacentes (inutiles pour certains mais qui permettaient de construire proprement l'exponentielle et de justifier le théorème des valeurs intermédiaires).

Un étudiant se destinant à l'enseignement dans le secondaire n'a donc besoin que d'infimes connaissances en géométrie affine, euclidienne, projective ou différentielle ou même en algèbre.

Je vous laisse le soin de décrire les besoins des autres étudiants en maths.

Les enseignements à la fac sont-ils autant subordonnés aux programmes des concours de l'enseignement ?

Et comment expliques-tu la disparition quasi-totale de l'algèbre des programmes du lycée alors que, pour le coup, les concepteurs desdits programmes ont quand même du recevoir une formation conséquente en algèbre ?

Le 1) n'est pas vrai : un élève de TS a 6 heures de maths par semaine +2 heures s'il est "spécialiste".

Pour le reste, j'ai crois plutôt qu'on a d'abord fait disparaître assez brutalement l'algèbre des programmes (au moment de la disparition des terminales C,D et E) puis plus progressivement la géométrie.
Comme il faut quand même avoir un programme, on a ensuite rajouté une bonne dose de proba-stat saupoudrée d'une cuillérée d'algorithmique.

Bonsoir Gai Requin.

Je suppose que tu connais le lien très fort qui unit un triangle et le triangle de ses milieux : Les médiatrices du premier sont les hauteurs du deuxième.

Mais je n'ai peut-être pas compris ce que tu cherchais.

amicalement,

e.v.

J'ai en fait posé deux questions...

Il me semblait parler de droites concourantes...

Bonjour,

Pappus a écrit:

Je souhaite du fond du cœur qu'il ne nous fasse pas le coup d'Aquilon, il y a quelques années, et qu'il efface du forum tous ses passionnants messages.

Je l'espère aussi.

Pappus a écrit:

Par exemple, étant donné un triangle $ABC$, le centre aréolaire $S$, l'équicentre $E$ et un point $a \in BC$, comment construire les points $b \in CA$ et $c \in AB$ correspondant au point $a$ ?

Comme ça, par exemple ?

[Correction du lien. AD]
Cordialement,

Rescassol

Cher Pappus, à quel livre de Penrose fais-tu allusion? Et désolé si la question ne fait pas avancer le sujet...
Merci.
Amicalement.
Jean-Louis, nostalgique de géométrie projective découverte il y a bien longtemps...

Mon cher Rescassol
Oui, j'ai pu lire ta construction mais n'ayant pas Cabri sous la main, j'ai la flemme d'y réfléchir, car je suis très très fatigué par mon voyage
C'est triste d"être devenu Cabri-dépendant!
A vue de nez, le début de ta construction ressemble beaucoup à celle que j'ai moi-même donnée dans l'autre fil: TGV:graphes ou axes affines. IL faudra les comparer!
Tout ce que je peux dire c'est que cette construction (la mienne) n'est pas très naturelle, même si elle est très esthétique par sa symétrie. Je pensais à une construction résultant immédiatement de la condition: $f(S) = E$.
Amicalement
Pappus