Géométrie projective pour agrégatifs

Le rantanplan

1. Définition. On appelle rantanplan la feuille de "papier quadrillé écolier" qui est posée devant un écolier. On fait une croix (rouge) quelque part (à l'intersection de deux lignes du quadrillage), et on écrit "vous êtes ici". Quand cela prend trop de place, on écrit "O". Et on dit "c'est l'origine".
2. Définition. Le point "tchouk, tchouk, tchouk, kling, tchik, tchik, bang, A" s'obtient en se plaçant en O, avec la marge derrière soi (le regard est alors dirigé selon le lignage horizontal). Alors on avance d'un carreau (tchouk), puis d'un carreau (le deuxième tchouk), puis d'un carreau (le troisième tchouk). Puis on fait un quart de tour (kling). On regarde alors dans la direction du lignage vertical. Puis on avance d'un carreau (tchik), puis d'un carreau (le deuxième tchik), puis on pose le crayon, on fait une croix (bang) et on écrit le nom du point.
3. Axiome (Archimède+Thalès+Cantor). Le schéma définitionnel précédent permet d'accéder à tous les points du rantanplan.
4. Définition, notation de Borel. Lorsqu'il y a "beaucoup" de tchouks et de tchicks, on les compte et l'on note $A=3+2i$. Le "i" sert à noter le kling.
5. Expérience fondatrice. Le candidat se place face à la porte. Puis il fait un quart de tour, en direction du Jury. Puis il fait un quart de tour, en direction de la fenêtre. Alors, le candidat a fait un demi-tour. Cela se note $i^{2}=-1$.
6. Scholie. Supposons que la scène précédente soit observée par deux vice-présidents du Jury, l'un placé à l'étage au dessus, l'autre placé à l'étage en dessous, et supposons en outre que le Président du Jury ait une autorité suffisante pour imposer à ses vice-présidents de synchroniser les sens de rotation de leur montres. Alors l'un d'eux verra $A=3+2i$, et l'autre verra $A=3-2i$.
7. La main à la pâte. L'expérience ci-dessus peut être reproduite sans une mise en scène aussi grandiose. Il suffit que l'élève regarde son rantanplan non pas par au dessus, mais par transparence. Alors "tout se met à tourner dans l'autre sens".
8. Définition. Coordonnées normalisées. De façon à intrinséquer la chose, nous définissons les coordonnées normalisées du point $A$ par:\[ \zeta_{norm}\left(A\right)=\left(\begin{array}{c} 3+2i\\ 1\\ 3-2i\end{array}\right)\] On note au-dessus ce que voit le vice président qui est à l'étage au-dessus, on note en-dessous ce que voit le vice président qui est à l'étage en-dessous. Et on peut même imaginer que le "1" entre les deux sert à unifier les points de vue des deux vice-présidents.
9. Scholie. Lorsque les deux vice-présidents entrent en guerre ouverte (pour la succession à la Présidence), le point de vue "unificateur" ne peut être maintenu, et il convient de remplacer ce $1$ par un multiple: nous obtenons les coordonnées supérieures.
10. Définition. Coordonnées supérieures. On appelle coordonnées supérieures des coordonnées proportionnelles aux coordonnées normalisées. Nous noterons cela par le signe $\simeq$ et nous avons, par exemple, la relation \[ \zeta_{A}\simeq\left(\begin{array}{c} 6+4i\\ 2\\ 6-4i\end{array}\right)\] Dans le vaste monde, où les plaisanteries sur les Ecoles Normales Supérieures risquent de tomber à plat, $\zeta_{A}$ s'appelle un affixe de Morley.
11. Notation. Les coordonnées de Morley du point courant du plan se notent $
    \def\tra#1{{\vphantom{#1}}^{t}{#1}}
    \def\qq{\mathbb{Q}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\rr{\mathbb{R}}
    \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}}
    \def\pyth{\boxed{Pyth}} \def\ww{\boxed{W}} \def\orth{\boxed{OrtH}} \def\met{\boxed{\mathcal{M}}} \def\kshi#1{\boxed{\mathcal{K}_{#1}}}
    \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}} \def\linfz{\mathcal{L}_{z}} \def\wwz{\boxed{W_{z}}} \def\ortoz{\boxed{OrtO_{z}}} \def\metz{\boxed{\mathcal{M}_{z}}} \def\pythz{\boxed{Pyth_{z}}} \def\vecp{\mathcal{V}} \def\prodscal#1#2{\left\langle #1\mid#2\right\rangle } \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\prm{\,.\,} \def\Sa{S_{a}} \def\Sb{S_{b}} \def\Sc{S_{c}} \def\ds#1{{\displaystyle #1}} \def\orto{\boxed{OrtO}} \def\tluret{\boxed{Lu^{-1}}}
    \def\conim#1{\boxed{\coni_{#1}}} \def\tlubo{\boxed{Lu}}
    \def\zang#1#2{\left(\overbrace{#1,\,#2}\right)}
    $$\vz:\vt:\vzz$ (grand zed, grand thé, grand zêta). Chaque agrégatif sait en effet qu'une variable algébrique n'est rien d'autre qu'un marque-ta-place dans l'écriture des polynômes qui sont des suites finies multi-indicées de coefficients. Que pourrait bien être le conjugué complexe d'un marque-ta-place ?

Algorithmique dans le rantanplan

1. Théorème. Le corps des fractions $\mathbb{K}$ d'un anneau intègre $\mathbb{A}$ se construit en identifiant entre eux tous les couples de $\mathbb{A}\times\mathbb{A}\setminus\left(0,0\right)$ qui partagent un même alignement avec l'origine $\left(0,0\right)$. Quoiqu'en dise pappus, cette projectification $\mathbb{K}=\mathbb{P}_{\mathbb{A}}\left(\mathbb{A}^{2}\right)\setminus\left\{ \infty\right\} $ est et demeure au programme de l'agrégation, et quand on a cela, on a tout le reste.
2. Le même en version soft, pour ne pas effrayer les collégiens: lorsque deux points du rantanplan sont alignés avec l'origine, les coordonnées sont proportionnelles, et le "produit en croix", aka le produit des extrêmes moins le produit des moyens, est nul: \[ x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}=0.\]
3. Théorème de Thalès. Lorsque trois points sont au nombre de trois et alignés, les variations d'abscisses et les variations d'ordonnées sont proportionnelles. Cela s'écrit \[ \left(x_{C}-x_{A}\right)\left(y_{B}-y_{A}\right)-\left(x_{B}-x_{A}\right)\left(y_{C}-y_{A}\right)=0\]
4. Définition (pente). L'équation d'une droite est la condition pour qu'un troisième point $\left(x,y\right)$ soit aligné avec deux points donnés (deux, c'est deux: les points donnés doivent être différents). Une fois réorganisée, l'expression ci-dessus s'écrit $y=px+m$, où $p$ est la pente, c'est à dire la proportion entre les $\Delta y$ et les $\Delta x$.
5. Scholie. Au delà de ses défauts, la formule $y=px+m$ a l'immense mérite de caractériser la direction d'une droite par sa pente, et même de caractériser les droites comme étant les courbes qui vont en ligne droite, c'est à dire à pente constante.
6. Version algorithmique du théorème de Thalès. Le point de vue stratosphérique consiste à résumer le théorème de Thalès par "on développe, on réorganise et on obtient $ax+by+c=0$". Le point de vue algorithmique consiste à s'intéresser aux calculs, et à essayer de les faciliter. On a $a=-y_{B}+y_{A}$, $b=x_{B}-x_{A}$, $c=x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}$. Autrement dit, le nombre $c$ est le "produit en croix" des $x$ et des $y$. Le résultat est connu: les deux autres sont aussi des produits en croix avec des coefficients égaux à $1$. Autrement dit, l'équation de la droite passant par deux points s'obtient par:\[ A\wedge B=\left(\begin{array}{c} x_{A}\\ y_{A}\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} x_{B}\\ y_{B}\\ 1\end{array}\right)=\left[y_{A}\times1-y_{B}\times1,\, x_{B}\times1-x_{A}\times1,\, x_{A}y_{B}-y_{A}x_{B}\right]\]
7. Dualité. Les produits en croix se placent en ligne parce qu'ils caractérisent une droite. Ce n'est pas seulement un jeu de mots line/row. On fait exprès de noter les droites autrement que les points... tout simplement parce que les droites ne sont pas des points et que les points ne sont pas des droites. Si l'on voulait, on pourrait noter les points en ligne (row), et les droites en colonne. On pourrait même échanger tous les points avec toutes les droites. Il faut simplement se donner un moyen de ne pas mélanger les points et les droites.
8. D'un point de vue avancé, l'équation d'une droite s'écrit par un déterminant et l'opérateur wedge est la factorisation universelle de cet opérateur multilinéaire:\[ \left|\begin{array}{ccc} x_{A} & x_{B} & x\\ y_{A} & y_{B} & y\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=\left(\left(\begin{array}{c} x_{A}\\ y_{A}\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} x_{B}\\ y_{B}\\ 1\end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1\end{array}\right)\] Certes. Il n'en reste pas moins que la méthode des produits en croix est un moyen pratique et rapide pour calculer des droites et des intersections, et que l'on peut exposer et faire utiliser bien avant toute théorie sur les déterminants de grande taille. Il en va de même de l'algorithme de la division décimale ordinaire, que l'on peut exposer et faire utiliser bien avant toute théorie sur les développements limités d'un quotient de séries uniformément convergentes.
9. Insistons lourdement sur ce point fondamental. La formule de soustraction des fractions:\[ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\, d-b\, c}{b\, d}\] exprime la condition pour que les écritures $\left(a,b\right)$ et $\left(c,d\right)$ soient alignées avec l'origine. C'est de la géométrie projective. Plus précisément, la géométrie projective cela n'est rien d'autre que cela : dessiner les fractions que l'on veut soustraire, puis les réduire au même dénominateur. Il n'y a pas de quoi en faire une taupinière, et encore moins une grande montagne.
10. Exemple. On veut calculer $E=AB\cap CD$ avec $A=3+4i$, $B=2-5i$, $C=-1+i$, $D=1-i$. On a successivement:\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 3\\ 4\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 2\\ -5\\ 1\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} 9 & -1 & -23\end{array}\right]\\ \left(\begin{array}{c} -1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} 9 & -1 & -23\end{array}\right]\wedge\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -1\end{array}\right] & = & \left(\begin{array}{c} 47\\ -60\\ 21\end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 47/21\\ -20/7\\ 1\end{array}\right)\end{eqnarray*}
11. Exemple (suite). Si l'on veut utiliser les affixes de Morley, cela donne:\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 3+4\, i\\ 1\\ 3-4\, i\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 2-5\, i\\ 1\\ 2+5\, i\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} -1+9\, i & -46\, i & 1+9\, i\end{array}\right]\\ \left(\begin{array}{c} -1+2\, i\\ 1\\ -1-2\, i\end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} 1-i\\ 1\\ 1+i\end{array}\right) & = & \left[\begin{array}{ccc} 2+3\, i & -2\, i & -2+3\, i\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} -1+9\, i & -46\, i & 1+9\, i\end{array}\right]\wedge\left[\begin{array}{ccc} 2+3\, i & -2\, i & -2+3\, i\end{array}\right] & = & \left(\begin{array}{c} +120+94\, i\\ 42\, i\\ -120+94\, i\end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \dfrac{47}{21}-\dfrac{20}{7}\, i\\ 1\\ \dfrac{47}{21}+\dfrac{20}{7}\, i\end{array}\right)\end{eqnarray*} Comme la conjugaison est un automorphisme du corps des complexes, la troisième composante obtenue à la fin des calculs est la conjuguée de la première, puisqu'il en était ainsi au départ. Pour l'instant, la composante $\vzz$ n'est rien de plus qu'une concession faite aux intrinséqueurs. Montrons comment la faire servir à quelque chose.

Forme antiquadratique de Thalès

1. Formule fondamentale des espaces affines. Pour aller en $B$, on se place en $A$, puis on suit le trajet qui va de $A$ jusqu'à $B$. Nous avons:\[ B=A+\left(B-A\right).\]
2. Définition. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est ce que l'on obtient par soustraction des coordonnées normalisées de $B$ et de $A$. Autrement dit, \[ \overrightarrow{AB} \doteq \dfrac {B}{\linf \cdot B} - \dfrac{A}{\linf \cdot A} \]
3. Scholie. La soustraction des coordonnées supérieures ne donnerait pas un objet bien défini, puisque les coordonnées supérieures de $A$ peuvent être multipliées par un facteur différent de celui des coordonnées supérieures de $B$.
4. Proposition. Lorsque l'on considère les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ pour ce qu'ils sont, c'est à dire des objets exactement définis (et non définis à un facteur près), leur ensemble $\vecp$ forme un espace vectoriel de dimension 2.
5. Définition. Si l'on suppose que le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est non nul, mais que l'on fait abstraction de sa taille il reste sa direction, et c'est une nouvelle sorte de points, les points avec $\vt=0$. L'ensemble des points qui vérifient cette équation est la droite $\left[0;1;0\right]$. On la note $\linfz$.
6. Proposition. Le point $k\overrightarrow{AB}$ appartient à la droite $AB$. En fait, ce point n'est autre que $AB\wedge\linfz$. Preuve: ce résultat est immédiat sur les coordonnées. La raison de fond est que la soustraction des fractions utilise elle aussi des produits en croix : n'avons nous pas $\mathbb{K}=\mathbb{P}_{\mathbb{A}}\left(\mathbb{A}^{2}\right)\setminus\left\{ \infty\right\} $ ?
7. Opérateur $W$. On appelle ainsi l'opérateur qui prend une droite en entrée et donne son point à l'infini en sortie. En utilisant les affixes de Morley, nous avons: \[ \Delta\wedge\linfz=\wwz\cdot\tra{\Delta}\quad\mathrm{avec}\quad\wwz=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ +1 & 0 & 0\end{array}\right)\]
8. Théorème (Thalès). Deux droites sont parallèles lorsque le point à l'infini de l'une appartient à l'autre. Ceci s'exprime par:\[ \Delta_{1}\parallel\Delta_{2}\Longleftrightarrow\Delta_{1}\cdot\wwz\cdot\tra{\Delta_{2}}=0\]

Forme quadratique de Pythagore

1. Théorème (pons caballorum). Le carré de la norme d'un vecteur se calcule par $\left|z\right|^{2}=z\,\overline{z}$. Pour les vecteurs de type $\overrightarrow{AB}$, ceci se traduit par:\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}=\tra{\overrightarrow{AB}}\cdot\pythz\cdot\overrightarrow{AB}\quad\mathrm{avec}\quad\pythz=\frac{1}{2}\,\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\]
2. Proposition. Soit $P$ un point à distance finie. Alors il existe deux transformations linéaires $\psi$ telles que (i) $\psi\left(P\right)=0:0:0$, (ii) $\psi\left(\vecp\right)=\vecp$ (iii) pour tout $V\in\vecp$, $\prodscal{\psi\left(V\right)}V=0$ tandis que $\prodscal{\psi\left(V\right)}{\psi\left(V\right)}=\prodscal VV$. Leur polynôme caractéristique vaut $\mu^{3}+\mu$ et nous avons:\[ \boxed{\psi}=i\,\left(\begin{array}{ccc} +1 & -z/t & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & +\overline{z}/t & -1\end{array}\right)\] l'autre possibilité étant l'opposé de l'opérateur $\boxed{\psi}$.
3. Définition. Opérateur $\ortoz$. L'action de l'un des opérateurs $\psi_{P}$ sur le vecteur $1:0:1$ est le vecteur $+i:0:-i$. Il correspond donc à une rotation directe d'un quart de tour pour l'observateur du dessus ($\vz$). Le choix $P=O$ conduit à l'opérateur:\[ \ortoz=i\,\left(\begin{array}{ccc} +1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)\] et nous avons $\ortoz=2i\,\tra{\wwz}\cdot\pythz$.
4. Proposition. Considéré comme agissant à un facteur près, chacun des opérateurs $\psi$ --et en particulier $\ortoz$-- envoie un point à l'infini sur le point représentant la direction orthogonale (orthopoint).
5. Remarque. Lorsque $U\in\linfz$, alors $\Delta_{U}\doteq\tra U\cdot\pythz$ est la droite des points $V$ tels que $\tra U\cdot\pythz\cdot V=0$. Le point à l'infini de $\Delta_{U}$ est $U'=\wwz\cdot\tra{\Delta_{U}}=\wwz\cdot\pythz\cdot U$. Il est donc commode de choisir $P$ en X(3), pour que $\boxed{\psi}$ soit proportionnelle à $\wwz\cdot\pythz$.
6. Opérateur $\mathcal{M}$ (orthodir). On appelle ainsi l'opérateur qui prend une droite en entrée et donne l'orthopoint de son point à l'infini en sortie. En utilisant les affixes de Morley, nous avons:\[ orthodir\left(\Delta\right)=\metz\cdot\tra{\Delta}\quad\mathrm{avec}\quad\metz=\ortoz.\wwz=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & 0\\ +i & 0 & 0\end{array}\right)\]
7. Théorème (Pythagore). Deux droites sont perpendiculaires lorsque l'orthodir de l'une appartient à l'autre. Ceci s'exprime par:\[ \Delta_{1}\perp\Delta_{2}\Longleftrightarrow\Delta_{1}\cdot\metz\cdot\tra{\Delta_{2}}=0\]

Tangente d'un angle de droite

1. Théorème. La tangente de l'angle orienté déterminé par les droites $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ s'obtient en divisant la forme antisymétrique de Thalès par la forme symétrique de Pythagore. En d'autre termes:\[ \tan\left(\Delta_{1},\,\Delta_{2}\right)=\frac{\Delta_{1}\cdot\wwz\cdot\tra{\Delta_{2}}}{\Delta_{1}\cdot\metz\cdot\tra{\Delta_{2}}}\]
2. Remarque. L'un des intérêts de cette formule est de donner une expression "projective", c'est à dire résistant à toutes ces "définitions à un facteur près". Cela est clair pour les facteurs agissant sur les $\Delta_{j}$. Mais cela est vrai aussi pour les facteurs agissant sur les matrices de transformation. En effet $\wwz$ et $\metz$ sont du même type, à savoir "droite vers point", et se transforment toutes deux par $X$$\mapsto aller\cdot X\cdot\tra{aller}$.
3. Preuve élémentaire (the shorter, the better). Nous avons:\[ \left(\left[\begin{array}{ccc} p+i & 2\, m & p-i\end{array}\right]\,,\,\left[\begin{array}{ccc} q+i & 2\, n & q-i\end{array}\right]\right)=\dfrac{q-p}{1+p\, q}\]
4. Nous constatons que le groupe des tangentes vérifie:\[ \tan\left(\Delta_{1},\,\Delta_{3}\right)=\frac{\tan\left(\Delta_{1},\,\Delta_{2}\right)+\tan\left(\Delta_{2},\,\Delta_{3}\right)}{1-\tan\left(\Delta_{1},\,\Delta_{2}\right)\,\tan\left(\Delta_{2},\,\Delta_{3}\right)}\] avec les règles usuelles des homographies pour gérer $\infty\in\overline{\cc}$. Et cela s'applique y compris lorsque les droites ne sont pas visibles, et les tangentes sont complexes.
5. On remarquera que les points visibles et à l'infini de $\pcct$, autrement dit les directions, s'écrivent $z:0:\overline{z}$ et peuvent donc se normaliser en $\omega^{2}:0:1$. Un angle de droite se représente par son double, qui est un angle de vecteur, et ce double peut donc peut se représenter par un point du cercle trigonométrique.
6. Interprétation. Lorsque le Président du Jury lève la tete pour contempler l'infini, il se fait son opinion en divisant entre eux les points de vue des deux vice-présidents, selon la formule $\omega^{2}=z/\overline{z}$. Et alors, le quart de tour a pour effet de multiplier $\omega^{2}$ par $-1$. Quoi de plus intrinsèque en vérité ?

Passage en coordonnées barycentriques

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