Quadrilatère inscrit

mathema
mathema
dans Géométrie
Comment peut-on déterminer la valeur maximale du plus petit côté du quadrilatère inscrit en fonction du rayon du cercle ?

Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Mathema

    Si tu considères le quadrilatère croisé ABCD ci-dessous, cette valeur maximale va être 2R.
    Comme elle ne peut pas être supérieure à 2R, la réponse cherchée est exactement 2R.

    Alain5473
  • mathema
    mathema
    Merci Alain,

    Je n'avais pas pensé au cas du quadrilatère croisé.
  • Nico
    Nico
    Juste une question : si on prend un quadrilatère qui n'est pas croisé, je suppose qu'on doit se ramener au cas du carré, mais comment est-ce qu'on le justifie ?




    [Je me suis permis de corriger "cube" en "carré" (on est dans le plan). AD]
  • mathema
    mathema
    Bonsoir Nico,

    Suite à ta question incidente, j'ai réexaminé le problème et je crois que si le quadrilatère n'est pas croisé, le plus petit côté a comme grandeur maximale celle du rayon du cercle.

    Qu'en pense Alain ?

    Meilleurs voeux à vous deux en particulier et en général à tous les utilisateurs du forum.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Mathema

    Comme l'indique Nico, le carré inscrit dans le cercle est un quadrilatère non croisé, dont le (plus petit) coté est $R\sqrt{2}$.
    Le maximum recherché est donc $ \geq R\sqrt{2}$.
    Un argument de symétrie devrait montrer que ce maximum ne peut pas être plus grand.
    Peut-être un intervenant du forum aura une bonne idée ?

    Alain
  • jacquot
    jacquot
    Bonjour,

    Comme Alain, nous sentons bien que le carré doit être la configuration optimale, mais comment le démontrer?

    On pourra peut-être raisonner avec les angles au centre:

    Soit ABCD le quadrilatère, nommé dans le sens trigonométrique.
    Si l'un des angles AOB, BOC, COD et DOA est plus grand que $\pi /2$, alors l'un des autres sera plus petit.

    Si $\alpha $ est la mesure d'un angle au centre, alors la longueur de la corde qu'il intercepte est $2R.sin(\alpha /2)$
    La fonction x $\longrightarrow 2sin(x /2)$ est strictement croissante sur $[0;\pi ]$, donc le côté intercepté par l'angle inférieur à $\pi /2$ sera plus court que le côté du carré.

    Qu'en pensez-vous?
  • Domi
    Domi
    Bonjour,
    <BR>
    <BR>soit ABCD un quadrilatère dont le plus petit côté AB est maximum et supposons que AB<BC alors en rapprochant B de la médiatrice de [AC] on augmente AB tout en gardant AB<BC : impossible donc AB=BC . De même AB=AD et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="169" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/3/106081/cv/img1.png&quot; ALT="$ CD \geq AB=BC=AD$"></SPAN> . Les angles ABC et BAD sont obtus et si on redresse les côtés [BC]et [AD] de façon à rendre les angles droits , on obtient un rectangle . Si la longueur est différente de la largeur , on déplace à nouveau B pour le rapprocher de la médiatrice de [AC] et nouvelle contradiction : ABCD est un carré .
    <BR>
    <BR>Domi<BR>
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