pourquoi 4

leog · October 2006

La dérivée du volume sphère = aire sphère
La dérivée aire sphère = 4 périmètres

Pourquoi 4

[Message traduit en français plus compréhensible (?). A l'avenir évite le langage SMS. Merci. AD]

Cédricpasloggué · October 2006

Pourkoi c'est incompréhensible alors que c'est du français ?

leog · October 2006

dérive le volume d'une sphère, et tu obtiens l'aire d'une sphère.

dérive l'aire de la sphère (sa surface) et tu obtiens 4 fois le périmètre..

Pourquoi 4

iboo · October 2006

pourquoi pas?

toutoune1 · October 2006

Leog, une sphere a un périmètre ? Un bord n'a pas de bord !

leog · October 2006

Je ne dis pas qu'une sphère a un périmètre, je voudrais simplement comprendre pourquoi (s'il y aune raison logique) la dérivée seconde du volume d'une sphère donne 8 fois pi fois R soit 4 fois la valeur du périmètre.

Merci

bisam · October 2006

Le périmètre de quoi ???

leog · October 2006

(4/3 pi R^3)'= 4pi R^2

(4pi R^2)'= 8pi R= 4 fois 2.Pi.R

Richard André-Jeannin · October 2006

La dérivée de pi*r² est 2*pi*r, de même que la dérivée de 4/3*pi*r^3 est 4*pi*r².

bisam · October 2006

C'est une coïncidence qui vient du fait que la surface d'une sphère de rayon est égale à 4 fois celle d'un cercle de même rayon.

jean lismonde · October 2006

bonsoir

leog pose une vraie question: est ce que la propriété observée pour les sphères dans les univers successifs R^n
avec n=2, 3, 4, 5 et 6 est vraie quel que soit n? (avec a le rayon)

pour n=2 on trouve v(2)=pi.a² alors v'(2)=2.pi.a (périmètre du cercle)
pour n=3 on trouve v(3)=(4/3).pi.a^3 alors v'(3)=4.pi.a² (surface latérale de la sphère)

pour n=4 on trouve v(4)=(pi²/2).a^4 alors v'(4)=2.pi².a²(volume externe de l'hypershère dans R^4)
pour n=5 on trouve v(5)=(8/15)pi²a^5 alors v'(5)=(8/3)pi².a^4 (volume R^4 externe de l'hypersphère)
pour n=6 on trouve v(6)=pi²/6)a^6 alors v'(6)=pi^3.a^5 (volume R^5 externe de l'hypersphère)

entre v(n) et v(n-1) il existe une relation simple de récurrence

en est-il de même entre les "volumes externes"des hypersphères?

ce sont de vraies questions

cordialement

bisam · October 2006

Le fait que le volume d'une boule soit l'intégrale de la surface de la sphère n'est PAS une coïncidence (et ce en n'importe quelle dimension).

En revanche, ce qui l'est c'est que la surface de la sphère soit égale à 4 fois la surface du disque.
En dimension supérieure, cela revient à comparer la "surface" de l'hypersphère de dimension n dans R^(n+1) avec le volume de la boule de dimension n dans R^n.
Autrement dit avec les notations de jean lismonde : comparer v'(n+1) avec v(n).

On voit tout de suite que ce n'est qu'un hasard...

le poulpe · October 2006

d'un point de vue sensé, on a par homogénéité :

aire du disque A1= ar^2
aire de la sphère : A2=br^2

(puisqu'il est clair que seul le paramètre r intervient)

et on a l'étrange coincidence comme quoi A2=(b/a)A1.....

paulDH · October 2006

bonjour à tous

considérons les point de coordonnées (x,r) situés sur un cercle de rayon R centré à l'origine des axes

il existe alors deux séquences de calculs, qui se poursuivent à l'infini.
Voici la première:
intégrale définie de - R à R de (r^0)dx = 2.R (diamètre du cercle)
intégrale définie de - R à R de 2r.dx = pi.R² (surface du cercle)
intégrale définie de - R à R de pi.r².dx = pi.R^3 .4/3 (volume de la sphère)
intégrale définie de - R à R de pi.r^3.4/3 = ((pi)².R^4)/2 (hypervolume de l'hypersphère (4ème dimension))
etc.

Voici la seconde, pour laquelle (dl)² = (dx)² + (dr)²
où dl est une portion infinitésimale d'arc.
intégrale définie de - R à R de dl = 2.pi.R (circonférence du cercle)
intégrale définie de - R à R de 2.pi.r.dl = 4.pi.R² (surface de la sphère)
intégrale définie de - R à R de 4.pi.r².dl = 2.(pi)²R^3 (volume de l'hypersphère.
etc.

Salutations

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