Un concours particulier

Bonjour,

Quand on fait exprès de rompre la symétrie, alors la symétrie est rompue. Ne dit-on pas: "Tu l'as voulu, Georges Dandin"? On définit $A_{b}=\mathrm{Intersect}[mBC,ab]$ où $mBC$ est la médiatrice de $\left[B,C\right]$. On appelle $K_{j}$ les associés de $K=$X(6) et $O_{j}$ les associés de $O=$X(3). On constate les alignements suivants:

\[
\def\etc{,\:\mathrm{etc}}
\def\where{\qquad\mathrm{where}\;}
\def\Sa{S_{a}}
\def\Sb{S_{b}}
\def\Sc{S_{c}}



\begin{array}{c|c|cc|cc} linA_{1} & O_{c} & K_{b} & A_{b} & V_{1} & W_{1}\\ linA_{2} & O_{b} & K_{c} & A_{c} & V_{2} & W_{2}\\ linB_{1} & O_{a} & K_{c} & B_{c} & W_{1} & U_{1}\\ linB_{2} & O_{c} & K_{a} & B_{a} & W_{2} & U_{2}\\ linC_{1} & O_{b} & K_{a} & C_{a} & U_{1} & V_{1}\\ linC_{2} & O_{a} & K_{b} & C_{b} & U_{2} & V_{2}\\ mAB & O & K_{c} & & C_{a} & C_{b} \end{array}\where \] \begin{eqnarray*} U_{1}V_{1}W_{1} & \simeq & \left[\begin{array}{ccc} \Sb\,\left(2\,\Sa\,\Sc-b^{2}\Sa-c^{2}\Sc\right) & a^{2}\,\Sa\Sc & a^{2}\,\Sa\Sc\\ b^{2}\,\Sb\Sa & \Sc\,\left(2\,\Sb\,\Sa-a^{2}\Sa-c^{2}\Sb\right) & b^{2}\,\Sb\Sa\\ c^{2}\,\Sc\Sb & c^{2}\,\Sb\,\Sc & \Sa\,\left(2\,\Sb\,\Sc-b^{2}\Sb-a^{2}\Sc\right) \end{array}\right]\\ U_{2}V_{2}W_{2} & \simeq & \left[\begin{array}{ccc} \Sc\,\left(2\,\Sb\,\Sa-c^{2}\Sa-b^{2}\Sb\right) & a^{2}\,\Sa\Sb & a^{2}\,\Sa\Sb\\ b^{2}\,\Sb\Sc & \Sa\,\left(2\,\Sb\,\Sc-\Sb\,a^{2}-c^{2}\Sc\right) & b^{2}\,\Sb\,\Sc\\ c^{2}\,\Sc\Sa & c^{2}\,\Sa\,\Sc & \Sb\,\left(2\,\Sa\,\Sc-a^{2}\Sa-\Sc\,b^{2}\right) \end{array}\right] \end{eqnarray*}

Il y a donc huit triangles, ces deux-là et six autres à la façon du triangle $U_{1}O_{b}K_{c}$. Que peut-on dire du groupe des homothéties échangeant ces triangles ?

Cordialement, Pierre