Un problème italien

% Bouzar - 28 Octobre 2021 - Un problème italien

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

w=u^2/v; % ABC est isocèle en A

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre O et rayon R du rayon du cercle circonscrit (Gamma) 
% au triangle ABC

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
R=2/(1-s1*s1B);

%-----------------------------------------------------------------------

% Points M et N où (BI) et (CI) recoupent le cercle circonscrit

m=2*s3/(v^2+s2);
n=2*s3/(w^2+s2);

mB=2*s3B/(vB^2+s2B);
nB=2*s3B/(wB^2+s2B);

% Un point D variable du cercle circonscrit

syms t

tB=1/t;

d=o+R*t;
dB=oB+R*tB;

% Points d'intersection E et F de (AD) avec (BI) et (CI)

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB);  % Droite (AD)

[e eB]=IntersectionDeuxDroites(pad,qad,rad,1,-w*u,0);
[f fB]=IntersectionDeuxDroites(pad,qad,rad,1,-u*v,0);

e=Factor(e);
f=Factor(f);

% On trouve: 

e = 2*u^3*v*(t-u)/((u^2+v^2)*(-u^2+t*v));
f = 2*u^3*w*(t-u)/((u^2+w^2)*(-u^2+t*w));

% Points d'intersection P et Q de (DM) avec (CI) et (DN) avec (BI)

[pdm qdm rdm]=DroiteDeuxPoints(d,m,dB,mB);
[pdn qdn rdn]=DroiteDeuxPoints(d,n,dB,nB);

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pdm,qdm,rdm,1,-u*v,0);
[q qB]=IntersectionDeuxDroites(pdn,qdn,rdn,1,-w*u,0);

p=Factor(p);
q=Factor(q);

% On trouve:

p=2*u*v*(u^3+t*v^2)/((u^2+v^2)*(t+u)*(u+v));
q=2*u*w*(u^3+t*w^2)/((u^2+w^2)*(t+u)*(u+w));

%-----------------------------------------------------------------------

% D, I, P, Q sont cocycliques

BiDIPQ=Birapport(d,0,p,q);
BiDIPQB=Birapport(dB,0,pB,qB);

NulDIPQ=Factor(BiDIPQ-BiDIPQB)  % Égal à 0 donc c'est gagné

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites (CE) et (BF) se coupent en un point G du cercle DIPQ

[pce qce rce]=DroiteDeuxPoints(c,e,cB,eB);
[pbf qbf rbf]=DroiteDeuxPoints(b,f,bB,fB);

[g gB]=IntersectionDeuxDroites(pce,qce,rce,pbf,qbf,rbf);

g=Factor(g);

% On trouve:

g=-2*u*v*(t-u)/(u^2+u*v+v^2-t*v);

% G est sur le cercle IPQ

BiIPQG=Birapport(0,p,q,g);
BiIPQGB=Birapport(0,pB,qB,gB);

NulIPQG=Factor(BiIPQG-BiIPQGB)   % Égal à 0 donc c'est gagné

%-----------------------------------------------------------------------
%-----------------------------------------------------------------------

% Question supplémentaire: quel est le lieu du centre de ce cercle ?

% Centre du cercle DIPQG

[om omB]=CercleTroisPoints(0,p,q,0,pB,qB);
om=Factor(om);

% On trouve:

om = 2*u^3*v*(u^2+u*v+v^2-t*v)/((u^2+v^2)*(t+u)*(u+v)^2);

% Lieu de om

syms z zB

pol=coeffs(numden(Factor(z-om)),t);
polB=coeffs(numden(Factor(zB-omB)),t);

F=-2*u*v*(u^2 + v^2)*(u + v)^2;

Eq=Factor(Resultant(pol,polB)/F);
Eq=collect(Eq,[z zB])

% On trouve:

Eq=(u+v)^2*z + u^2*(u+v)^2*zB - 2*u^2*v; % Droite parallèle à (BC)

% Bouzar - 28 Octobre 2021 - Un problème italien
% Bouzarisation du problème

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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

c=b; % ABC est isocèle en A

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2;
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

%-----------------------------------------------------------------------

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre du cercle inscrit

I = [a; b; c];

% Centre du cercle circonscrit

O = PgcdBary([a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]);

% Le cercle circonscrit a pour équation:
% a^2*y*z + b^2*z*x + c^2*x*y = 0 
% ou encore sum(K./[x; y; z])=0, K étant le point de Lemoine:

K=[a^2;b^2;c^2];

%-----------------------------------------------------------------------

% Points M et N où (BI) et (CI) recoupent le cercle circonscrit

syms ym zn real

BI=Wedge(B,I); % [b, 0, -a] --> b*x-a*z=0
CI=Wedge(C,I); % [-b, a, 0] --> -b*x+a*y=0

M=[a; ym; b]; N=[a; b; zn];

NulM=Factor(sum(K./M))
NulN=Factor(sum(K./N))

% On trouve b^2 + ym*b + a*ym = 0 donc ym = -b^2/(a+b)
% Et b^2 + zn*b + a*zn = 0 donc zn = -b^2/(a+b)

% M=[a; -b^2/(a+b); b]
% N=[a; b; -b^2/(a+b)]

M=[a*(a+b); -b^2; b*(a+b)];
N=[a*(a+b); b*(a+b); -b^2];

%-----------------------------------------------------------------------

% Un point D variable du cercle circonscrit

syms u real

D=[-a^2*u*(1+u); -b^2*(1+u); c^2*u];

% Points d'intersection E et F de (AD) avec (BI) et (CI)

AD=Wedge(A,D); E=PgcdBary(Wedge(AD,BI)); F=PgcdBary(Wedge(AD,CI));

% On trouve:

E=[a*u;-b*(u+1); b*u]; F=[a*(u+1); b*(u+1); -b*u];

% Points d'intersection P et Q de (DM) avec (CI) et (DN) avec (BI)

DM=Wedge(D,M); DN=Wedge(D,N);
P=PgcdBary(Wedge(DM,CI)); Q=PgcdBary(Wedge(DN,BI));

% On trouve:

P=[-a*(u+1); -b*(u+1); (a+b)*u-b]; Q=[a*u; -(a+b)*(u+1)-b; b*u];

%-----------------------------------------------------------------------

% D, I, P, Q sont cocycliques

NulDIPQ = Cocycliques(D,I,P,Q,a,b,c)   % Égal à 0 donc c'est gagné

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites (CE) et (BF) se coupent en un point G du cercle DIPQ

CE=Wedge(C,E); BF=Wedge(B,F); G=PgcdBary(Wedge(CE,BF));

% On trouve:

G=[-a*u*(u+1); b*(u+1)^2; b*u^2];

% G est sur le cercle IPQ

NulIPQG = Cocycliques(I,P,Q,G,a,b,c)   % Égal à 0 donc c'est gagné