René Goormaghtigh et sa déroutante relation
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle acutangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. R le rayon de (O)
4. H l’orthocentre
5. (P, P*), (Q, Q*) deux couples de points isogonaux
6. N, U, V les milieux resp. de [OH], [PP*], [QQ*]
7. a l'angle des O-bissectrices intérieures des triangles POP*, QOQ*.
Question : 4.R².UV² = (OP.OP*)² + (OQ.OQ*)² - 2.OP.OP*.OQ.OQ*.cos 2a
Merci à A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle acutangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. R le rayon de (O)
4. H l’orthocentre
5. (P, P*), (Q, Q*) deux couples de points isogonaux
6. N, U, V les milieux resp. de [OH], [PP*], [QQ*]
7. a l'angle des O-bissectrices intérieures des triangles POP*, QOQ*.
Question : 4.R².UV² = (OP.OP*)² + (OQ.OQ*)² - 2.OP.OP*.OQ.OQ*.cos 2a
Merci à A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Il suffit de rajouter le code suivant à la fin du code que j'avais donné dans ce fil:
Un curieux résultat Cordialement,
Rescassol
On peut utiliser le lemme suivant (exercice) :
Lemme: Soit $\odot(O,R)$ et $N$ le cercle circonscrit et le centre du cercle d'Euler du triangle $ABC.$
$(P,P^{*})$ est un couple de points conjugués isogonaux par rapport au triangle $ABC$ et $U$ le milieu $[PP^{*}]$. Alors
$NU=\frac{OP \cdot OP^{*}}{2R}.$
D'après le lemme précédent, on a :
$NU=\frac{OP \cdot OP^{*}}{2R}$ et $NV=\frac{OQ \cdot OQ^{*}}{2R}.$
D'après la loi des cosinus dans le triangle $NVU$, on a :
$UV^2=NV^2+NU^2-2NU.NV.\cos(\hat{VNU})$
soit
$UV^2 = \frac{(OP \cdot OP^{*})^2}{4R^2}+\frac{(OQ \cdot OQ^{*})^2}{4R^2}-2\frac{OP \cdot OP^{*}}{2R}. \frac{OQ \cdot OQ^{*}}{2R}.\cos(\hat{VNU})$
ce qui donne :
$4R^2.UV^2 = (OP \cdot OP^{*})^2+(OQ \cdot OQ^{*})^2-2OP \cdot OP^{*}. OQ \cdot OQ^{*}.\cos(\hat{VNU}).$
Or $\hat{VNU} = 2a.$
Ainsi on obtient :
$4R^2.UV^2 = (OP \cdot OP^{*})^2+(OQ \cdot OQ^{*})^2-2OP \cdot OP^{*}. OQ \cdot OQ^{*}.\cos(2a).$
Amicalement
merci...
c'est bien ce schéma que j'avais indiqué dans un autre fil... http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2312728
à partir de la relation de Aiyar
(Ayme J.-L., Une relation de Goormaghtigh, G.G.G. vol. 78, p. 13-14 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/)
Pour <VNU = 2a, il y a l'approche ''cubique'' de Casagrandre... http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2312728 qui peut être remplacée par une preuve plus basique que je rédige en ce moment...
Merci pour votre contribution...c'est vraiment une relation déroutante.
Sincèrement
Jean-Louis
Oui, bon, on utilise tous les mêmes ingrédients, sous différentes formes.
Cordialement,
Rescassol
On pose
On fait la figure, et "on voit bien" qu'il y a une homothétie, récupérant le lemme et la proposition.
Cordialement, Pierre.