Intersection de deux ellipses
Bonjour
Je dispose de deux ellipses, centrées sur le même point (disons l’origine du repère)
Je connais les deux paramètres a et b de l’ellipse 1
L’ellipse 2 est orientée d’un angle theta par rapport à l’ellipse 1
L’ellipse 2 et l’ellipse 1 admettent 2 points d’intersection
Je connais l’excentricité de l’ellipse 2, mais je cherche à déterminer ses paramètres (je n’en cherche donc qu’un, pouvant exprimer l’un en fonction de l’autre)
Je ne cherche pas à connaitre les points d’intersection
Autrement dit, je cherche à déterminer l’ellipse orientée d’un angle theta par rapport à une autre, dont je connais l’excentricité, et qui doit admettre 2 points d’intersection avec cette dernière. Ce qui correspond à une ellipse majorant au plus juste une autre ellipse avec une orientation différente.
Je vous remercie d’avance du temps que vous prendrez à chercher à résoudre ceci
Je dispose de deux ellipses, centrées sur le même point (disons l’origine du repère)
Je connais les deux paramètres a et b de l’ellipse 1
L’ellipse 2 est orientée d’un angle theta par rapport à l’ellipse 1
L’ellipse 2 et l’ellipse 1 admettent 2 points d’intersection
Je connais l’excentricité de l’ellipse 2, mais je cherche à déterminer ses paramètres (je n’en cherche donc qu’un, pouvant exprimer l’un en fonction de l’autre)
Je ne cherche pas à connaitre les points d’intersection
Autrement dit, je cherche à déterminer l’ellipse orientée d’un angle theta par rapport à une autre, dont je connais l’excentricité, et qui doit admettre 2 points d’intersection avec cette dernière. Ce qui correspond à une ellipse majorant au plus juste une autre ellipse avec une orientation différente.
Je vous remercie d’avance du temps que vous prendrez à chercher à résoudre ceci
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Réponses
L'équation de tes 2 ellipses se mettent sous la forme
$X^t M_1 X= 1$ et $X^t M_2 X= 1,$ où
$M_1= \left(
\begin{array}{cc}
\frac{1}{a^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{b^2}
\end{array}
\right) $ et $\ M_2 =r(\theta) \left(
\begin{array}{cc}
\frac{1}{A^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{B^2}
\end{array}
\right)r(-\theta) $
($r(\theta)$ matrice de rotation d'angle $\theta$ )
Les points d'intersection X vérifient
$X^t(M_1-M_2) X =0 \ $ et $\ X^t M_1 X =1 $.
Pour qu'il existe des solutions réelles à la première équation, il est est nécessaire que $M_1-M_2$ ne soit pas définie (strictement positive ou négative).
Par contre si les 2 valeurs propres de $M_1-M_2$ sont de signes contraires il me semble bien qu'il y aura 4 points d'intersections (à vérifier il faut écrire un peu pour cela).
Donc la condition pour qu'il y ait 2 points exactement est $\det(M_1-M_2)=0.$
Maintenant il reste à faire les calculs en remplaçant $B$ en fonction de $A$ et $e$.
L'équation obtenue pour $A$ pourrait ne pas être aussi simple que cela.
Pour moi, si elles n'ont que deux points d'intersection, alors leurs tangentes en ces points doivent coïncider, auquel cas leurs axes aussi, plutôt un décalage de $45°$. Ton dessin induit en erreur.
Bizarre!
J'ai l'impression que l'adjectif "bitangent" est inconnu au bataillon et pourtant c'est ce que suggère fortement le croquis maladroit de Yopery!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
L'équation de la seconde ellipse devrait donc être de la forme:
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1+\lambda(ay\cos(t)-bx\sin(t))^2=0$$
où les points de contact sont $\pm(a\cos(t),b\sin(t))\ $.
J’ai utilisé la technique de bd2017 et ça semble marcher
Effectivement l’expression de A n'est pas toute simple mais ça se fait.