Dimension et espaces projectifs

Sn
Sn
dans Géométrie
Bonjour
Pourquoi définissons-nous la dimension de l'espace projectif déduit d'un espace vectoriel $E$, $\mathbb{P}(E)$, par $\dim \mathbb{P}(E)=\dim E -1$ ?
Bien cordialement.

Réponses

  • pappus
    pappus
    Bonjour Sn
    $\mathbb P(E)\ $ est une variété de dimension finie égale à $\mathrm{dim} (E) -1.\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Parce que quand on enlève un hyperplan $\mathbb P(H)$ de $\mathbb P(E)$ (où $\dim(E)=n>0$), ce qui reste est canoniquement un espace affine de dimension $n-1$ dirigé par $H$.
  • AD
    AD
    Parce que $\mathbb P(E)$ est le quotient $E/K^*$ de $E$ par les homothéties de $E$.
    Alain
  • Sn
    Sn
    Bonjour et merci à vous

    Pappus, je ne suis pas très familiarisé avec la notion de variété. Cependant, j'essayerai de faire le parallèle quand je m'y mettrai.

    GaBuZoMeu, veuillez m 'excuser mais je ne comprends pas pourquoi cela donne un espace affine de dimension $n-1$ dirigé par $H$

    AD, Ah, ainsi, sachant que $\mathbb{P}(E):=(E\setminus\{0\})/K^{\times}$ qui n'est pas forcement un espace vectoriel, nous faisons simplement l'analogie avec l'espace vectoriel $E/K^{\times}$ qui lui est de dimension $\dim(E)-1$ ?
  • pappus
    pappus
    Mon cher Sn
    C'est une définition qui en vaut une autre mais qui se justifie dans la suite de la théorie par des théorèmes comme ceux que Pierre ou moi avons cité!
    En résumé pour comprendre vraiment l'intérêt de cette définition, il faut aller plus loin dans la (défunte) théorie des espaces projectifs.
    Voir par exemple le cours en ligne de Daniel Perrin dont j'ai si souvent parlé!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • gai requin
    gai requin
    Exercice : Soit $ABC$ un triangle du plan affine $\cal P$, $\widehat{\cal P}$ l'enveloppe vectorielle de $\cal P$ et $H$ l'hyperplan de $\widehat{\cal P}$ d'équation $x+y+z=0$ dans la base $(A,B,C)$.
    Expliciter la structure de plan affine sur $\mathbb P(\widehat{\cal P})\setminus\mathbb P(H)$ dont GBZM a parlé.
    C'est canonique donc c'est facile :-D
  • pldx1
    pldx1
    Bonjour.

    Comme $n \neq n-1$, il faut adopter des notations qui évitent de créer des confusions. Par exemple, si l'on veut causer avec un ordinateur basique, la notation $\mathbb{P}_\mathbb C\left( \mathbb {C}^3 \right)$ indique que l'on travaille avec des listes de taille 3, que l'on se débrouillera pour gérer projectivement. On pourrait même ajouter une chtite étoile au $\mathbb C$ placé en indice pour rappeler que, à tout le moins sur un ouvert dense, le multiplicateur doit être non nul. C'est ce qui permet de considérer que l'involution de Cremona $(x:y:z)\mapsto (\frac 1 x :\frac 1 y: \frac 1 z)$ est effectivement involutive.
    Quand on penche sur le côté $n-1$, on note ce même ensemble $\mathbb P _2 (\mathbb C)$. On utilise l'indice "2" pour indiquer qu'une base barycentrique de cet espace comporte trois points. Il est clair que cette façon de faire est beaucoup plus intuitive que l'autre.

    Cordialement, Pierre.
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