Normale à l'ellipse

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il me confirmer le résultat suivant ?
La distance du centre de l'ellipse $x^2 /a^2 + y^2/b^2 = 1$ à une normale atteint son maximum au point d'abscisse $a\sqrt{a/(a+b)}$.

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • JFS
    JFS
    Bonjour,

    Cela ne semble pas coller avec le cas du cercle (a=b)

    A+
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Oui, je confirme!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Chaurien
    Chaurien
    Ça se fait sans trop de mal.
    Formule de la distance $d$ de l'origine à la droite d'équation $ux+vy+w=0$, $(u,v) \neq (0,0)$.
    Équation de la normale à l'ellipse au point $x=a \cos \theta, y=b \sin \theta$.
    On étudie $\frac 1{d^2}$ en fonction de $t= \sin^2 \theta$.
    Et ça marche.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et tiens, à propos de normale à l'ellipse, un petit problème qu'on m'avait posé il y a quelques années. La normale à l'ellipse en un point $M$ recoupe l'ellipse en $N$. Le maximum de la distance $MN$ est sans discussion le grand axe, mais quid du minimum ?
  • Ludwig
    Ludwig
    Le minimum dépend de l'excentricité non ? Au dessus d'une certaine valeur c'est le petit axe le minimum. Mais en dessous non et c'est même un maximum local.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    min au carré = $\dfrac{27 a^4 b^4}{\left(a^2+b^2\right)^3}$
     
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Tous calculs faits, on trouve $|a - b|$ comme distance maximale du centre à une normale, ce qui colle bien avec le cas du cercle ; la distance du centre à la tangente est alors $\sqrt{ab}$ ; on a aussi $OM = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$, ce qui donne une construction facile du point (par application de la loi des cosinus à un triangle de côtés $a, b$ comprenant un angle de $60$ degrés).
    Comment retrouver ces résultats par la géométrie pure ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour,

    Pour le problème de Chaurien j'ai dit des bêtises et la valeur donnée par bd2017 est correcte. Elle est de plus égale à $2b$ lorsque l'excentricité de l'ellipse vaut $ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Que peut-on encore dire si on remplace l'ellipse par une courbe (suffisamment) différentiable quelconque?
    Et évidemment ce "ce qu'on peut encore dire" reste valable pour l'ellipse!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
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