Construction d'un point P sous une condition
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle
2. A’N’C’ le triangle median
3. M un point intérieur à A’B’C’
4. P, P* deux points isogonaux de ABC.
Question : construire P tel que M soit le milieu de [PP*]. P est-il unique ?
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle
2. A’N’C’ le triangle median
3. M un point intérieur à A’B’C’
4. P, P* deux points isogonaux de ABC.
Question : construire P tel que M soit le milieu de [PP*]. P est-il unique ?
Sincèrement
Jean-Louis
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $p$ un point de $ABC$, son conjugué isogonal est $p^{*}=\dfrac{p+s_2\overline{p}-s_3\overline{p}^2-s_1}{p\overline{p}-1}.$
Par suite, on a :
$M(m)$ est le milieu de $[PP^{*}]$ si et seulement si $m=\dfrac{p^2\overline{p}+s_2\overline{p}-s_3\overline{p}^2-s_1}{2(p\overline{p}-1)}.$
Amicalement
Bouzar, je suppose que ton $\omega$ est un $p$.
D'autre part, il faut préciser que la formule que tu donnes n'est valable qu'en Morley circonscrit.
Cordialement,
Rescassol
Merci, j'ai corrigé.
Cordialement
$p$ et $p^*$ sont les solutions de l'équation $z^2 - 2 m z + (s_2 - 2\overline{m}s_3)=0$.
Cordialement,
Rescassol
Je ne crois pas que ce soit ce qu'attend Jean-Louis, mais on peut y arriver à peu près avec Geogebra, en ajustant $P$ "à la souris" pour que le milieu de $PP'$ (en noir) coïncide avec $M$ donné (en bleu, initialement, masqué par le point noir à la fin) ...
Apparemment, pour un point $M$, ce point $P$ est effectivement unique ...
Bon, ceci dit, il faudrait que je sois un tantinet plus sérieux, ce ne serait pas un mal ...
Bien cordialement, JLB
Les points $P\ $ et $P^*\ $ sont les foyers de la conique inscrite de centre $M.\qquad$
Il me semble que Poulbot nous a donné une fort jolie construction de ces foyers dans le passé.
Je ne vois pas ce que le triangle médial ou médian vient faire dans cette histoire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bien amicalement, JLB
Voici une autre construction basée sur la théorie des $FLTI$ si chère à Pierre et sur la défunte géométrie circulaire, autant dire que c'est foutu d'avance.
Je change un peu les notations et j'appelle $O$ le point que Jean-Louis appelle $M$.
On cherche donc à construire les points isogonaux $F\ $ et $F'\ $ tels que $O$ soit le milieu de $FF'.\qquad$
J'appelle $\mathcal F$ la $FLTI$ dont le centre aréolaire et l'équicentre sont confondus en $O.\qquad$
Soit $abc$ un triangle de cette $FLTI.\qquad$
On récupère ainsi:
1° une similitude directe $AC\longmapsto AB; b\mapsto c\ $ de centre $A'.\qquad$
2° une similitude directe $AB\longmapsto BC; c\mapsto a\ $ de centre $B'.\qquad$
3° une similitude directe $BC\longmapsto AC; a\mapsto b\ $ de centre $C'.\qquad$
Alors la transformation circulaire directe $ABC\mapsto A'B'C'\ $ est une involution dont les points fixes sont les points cherchés $F\ $ et $F'.\qquad$
Ainsi la construction demandée par Jean-Louis exige de maîtriser la théorie des $FLTI$, la construction du centre d'une similitude ainsi que celle des points fixes d'une involution, bien connues évidemment des sectateurs des Axiomes de Thalès et de Pythagore.
Toutes choses que j'ai rabâchées depuis plus de dix ans sur ce forum!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je te laisse à tes spéculations sur les problèmes dissolus.
Comme je l'ai dit, on a pas besoin de supposer le point $O\ $ intérieur au triangle médial et la construction de Poulbot doit traîner quelque part dans un fil lointain de ce forum!
Amicalement
[small]p[/small]appus
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,732957,735491
Mais en la survolant, je n'y ai pas vu de message de Poulbot ...
Ou celle-ci : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,726720,731734 ?
Non, c'est plutôt celle-ci, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,887110,889283, je crois bien !
Amicalement, JLB
PS : Mais ces trois discussions méritent amplement de remonter à la surface !!!
Seul Poulbot peut nous donner les détails de sa construction que j'avoue avoir oublié tant elle est technique tout comme la mienne d'ailleurs.
Mais j'aime bien la mienne aussi car elle garde un mystère un peu symétrique et si je l'ai trouvée, c'est sans doute parce que je me suis cassé les méninges sur la construction de Poulbot.
C'est triste le grand âge!
Je ne me souviens même plus de ce que j'ai fait.
Seule ma construction est restée dans mes archives Cabri avec son résultat brut!
C'est peut-être le moment de la redécouvrir avec son délicieux petit mélange de géométrie affine et de géométrie circulaire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici les deux constructions retrouvées dans mes archives, la mienne et celle de Poulbot, un petit miracle!
Il reste seulement un tout petit détail: les prouver!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il est très probable que Poulbot et moi nous sommes donnés beaucoup de mal pour pas grand chose!
A oublier donc le plus vite possible!
On se donne le point $U_{x}$ dans le plan du triangle $ABC$ et l'on veut construire constructivement les foyers de l'ellipse inscrite de centre $U_{x}$. Alors on pousse la cafetière vers le bord du poêle, on trace la droite $\Delta_{0}$ joignant $U_{x}$ au centre inscrit $I_{0}$ et l'on dit: "voilà, c'est fini".
Cette rédaction risque d'être évaluée au niveau six sur l'échelle des Billins. Essayons de nous limiter au niveau cinq. On prend l'image de $\Delta_{0}$ par l'homothétie $h\left(G,-2\right)$, ce qui revient à faire agir la matrice $h\left(G,-1/2\right)$. Puis on prend l'isotomique de cette droite. Elle coupe les côtés en $D_{a,}D_{b},D_{c}$, fournissant 3 points. On ajoute les sommets, fournissant 3 points de plus. On ajoute le point à l'infini de $\Delta_{0}$ et son isogonal qui est donc sur le circonscrit. On complète à neuf en ajoutant $I_{0}$. Cela détermine une cubique $K_{0}$. Elle passe par les ombilics, mais cela aurait effrayé Geogebra. On recommence avec un autre in-exinscrit, par exemple $I_{a}$ (notre figure).
Les cubiques $K_{0}$et $K_{a}$ se coupent en $3\times3=9$ points (pappus eût dit: la table de multiplication par trois semble encore au programme, profitons-en, cela ne va pas durer). On connait déjà cinq de ces points: les sommets et les ombilics. Il en reste quatre... ce qui est pile-poil le nombre des foyers d'une conique.
Pendant ce temps, le café a eu juste le temps de passer de brûlant à honorablement chaud, et l'on s'octroie un petit chocolat, sous la haute surveillance de Sainte Gudule, patronne des bissecteurs.
Cordialement, Pierre.