Deux isogonales
dans Géométrie
Bonjour,
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. (I) un cercle tangent à (BC) et intérieurement tangent à (O) du même côté que A par rapport à (BC)
4. P, Q les points d’intersection de la A-bissectrice intérieure de ABC avec (I).
Question : (CP) et (CQ) sont deux C-isogonales de ABC.
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit
3. (I) un cercle tangent à (BC) et intérieurement tangent à (O) du même côté que A par rapport à (BC)
4. P, Q les points d’intersection de la A-bissectrice intérieure de ABC avec (I).
Question : (CP) et (CQ) sont deux C-isogonales de ABC.
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Tu nous as habitué à plus difficile!!
Je précise ta figure à l'intention de ceux de tes lecteurs qui voudraient s'escrimer dessus!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le cercle tracé permet d'avancer...
Dans ce problème, je me suis fixé comme objectif de n'avoir aucun recours à aucun calculs et de m'appuyer sur des résultats connus plus ou moins de la Géométrie du triangle en évoquant au passage les noms des géomètres...
Je suis en conséquence sur une Géométrie pétillante et vivante...
Sincèrement
Jean-Louis
Une indication?
Les points $P\ $ et $Q\ $ sont inverses par rapport au cercle $(BIC).\qquad$
Mais je sais que tu n'aimes guère les transformations, alors tu dois avoir mieux dans ta manche!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Autant dire que $P$ et $Q$ sont isogonaux.
D'autre part, je ne pense pas que le résultat soit lié au fait que le contact des $2$ cercles soit intérieur :
Il existe $2$ familles de cercles tangents à la droite $BC$ et au cercle $\left( O\right) $ selon que la droite joignant les points de contact passe par le point $A^{\prime }$ de Pappus ou par le point diamétralement opposé sur $\left( O\right) $.
Si un cercle de la première famille coupe la droite $AI$, les ponts d'intersection sont conjugués isogonaux par rapport à $ABC$; il en va de même pour les points d'intersection éventuels d'un cercle de la deuxième famille avec la $A-$bissectrice extérieure.
Bien entendu, tout ceci demande à être prouvé
Amicalement. Poulbot
PS Ne serait-ce pas plutôt "du même côté que A par rapport à (BC)" dans l'énoncé de Jean-Louis ?
heureux de t'entendre... tu as raison...je viens de corriger...
Comme d'habitude je pars d'une figure et l'énoncé suit...Nous pouvons toujours généraliser et sous ce point de vue l'énoncé est en premier et la figure devient simplement un appui...
Sincèrement
Jean-Louis
Pour les lecteurs qui voudraient faire la figure avec Géogébra par exemple. on peut tracer la droite $D$ parallèle à $(BC)$ à une distance égale au rayon du cercle circonscrit, du côté de $A$. Le centre du cercle variable est alors sur la parabole de foyer $O$ et de directrice $D$.
Cordialement,
Rescassol
Pour la figure, on peut plus simplement procéder comme Pappus :
- la $A-$ bissectrice intérieure recoupe le cercle circonscrit $\left( O\right) $ en $A^{\prime }$ (qui est d'ailleurs aussi sur la médiatrice de $\left[ BC\right] $)
- les points de contact du cercle variable avec la droite $BC$ et avec $\left( O\right) $ sont alignés avec $A^{\prime }$
Ces $2$ points étant connus, le centre du cercle est immédiat
En remplaçant $A^{\prime }$ par le point diamétralement opposé sur $\left( O\right) $, on obtient la deuxième famille de cercles tangents à $\left( O\right) $ et à la droite $BC$
Amicalement. Poulbot
Bah, <mauvaise foi on> c'est toujours intéressant d'avoir le lieu du centre, la directrice étant de l'autre côté de $(BC)$ par rapport à $A$ pour l'autre famille de cercles <mauvaise foi off>.
Cordialement,
Rescassol
ma preuve...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Geometrie petillante 1.pdf
Sincèrement
Jean-Louis