Deux isogonales

Chers Pappus, Jean-Louis Ayme et autres amis géomètres
Autant dire que $P$ et $Q$ sont isogonaux.
D'autre part, je ne pense pas que le résultat soit lié au fait que le contact des $2$ cercles soit intérieur :
Il existe $2$ familles de cercles tangents à la droite $BC$ et au cercle $\left( O\right) $ selon que la droite joignant les points de contact passe par le point $A^{\prime }$ de Pappus ou par le point diamétralement opposé sur $\left( O\right) $.
Si un cercle de la première famille coupe la droite $AI$, les ponts d'intersection sont conjugués isogonaux par rapport à $ABC$; il en va de même pour les points d'intersection éventuels d'un cercle de la deuxième famille avec la $A-$bissectrice extérieure.
Bien entendu, tout ceci demande à être prouvé
Amicalement. Poulbot

PS Ne serait-ce pas plutôt "du même côté que A par rapport à (BC)" dans l'énoncé de Jean-Louis ?

Bonne nuit,

Pour les lecteurs qui voudraient faire la figure avec Géogébra par exemple. on peut tracer la droite $D$ parallèle à $(BC)$ à une distance égale au rayon du cercle circonscrit, du côté de $A$. Le centre du cercle variable est alors sur la parabole de foyer $O$ et de directrice $D$.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Bah, <mauvaise foi on> c'est toujours intéressant d'avoir le lieu du centre, la directrice étant de l'autre côté de $(BC)$ par rapport à $A$ pour l'autre famille de cercles <mauvaise foi off>.

Cordialement,

Rescassol