Translation (exposition Borel)
Bonjour
Soit $f$ une fonction continue de $\R^2$ dans $\R^2$ telle que pour tout $a$ et tout $b \in \R^2$, on a $d\big(a,f(a)\big)=d\big(b,f(b)\big)$, où $d$ est la distance euclidienne du plan. C'est-à-dire que la distance d'un point à son image par $f$ est constante. Il me semble que $f$ n'est pas nécessairement une translation.
En effet, soit $D$ la droite $x=0$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x,y)=(x-1,y)$ si $x\geq 1$, $f(x,y)=(x+1,y)$ si $x \leq -1$, et si $-1<x<1$, soit $C$ le cercle de centre $(x,y)$ et de rayon $1$, il rencontre alors $D$ en deux points $a=(x_a,y_a)$ et $b=(x_b,y_b)$ tels que $y_a>y_b$, on définit alors $f(x,y)=a$. Alors $f$ vérifie bien $d\big(m,f(m)\big)=1$ pour tout point $m$ du plan et est continue.
Si on suppose $f$ différentiable en tout point du plan, est-ce qu'alors $f$ est nécessairement une translation ?
Merci d'avance.
Soit $f$ une fonction continue de $\R^2$ dans $\R^2$ telle que pour tout $a$ et tout $b \in \R^2$, on a $d\big(a,f(a)\big)=d\big(b,f(b)\big)$, où $d$ est la distance euclidienne du plan. C'est-à-dire que la distance d'un point à son image par $f$ est constante. Il me semble que $f$ n'est pas nécessairement une translation.
En effet, soit $D$ la droite $x=0$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x,y)=(x-1,y)$ si $x\geq 1$, $f(x,y)=(x+1,y)$ si $x \leq -1$, et si $-1<x<1$, soit $C$ le cercle de centre $(x,y)$ et de rayon $1$, il rencontre alors $D$ en deux points $a=(x_a,y_a)$ et $b=(x_b,y_b)$ tels que $y_a>y_b$, on définit alors $f(x,y)=a$. Alors $f$ vérifie bien $d\big(m,f(m)\big)=1$ pour tout point $m$ du plan et est continue.
Si on suppose $f$ différentiable en tout point du plan, est-ce qu'alors $f$ est nécessairement une translation ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Non, en effet, il suffit de considérer $f(x,y)=(x+\cos(x),y+\sin(x))$, alors $d(m,f(m))=1$ pour tout point $m$ du plan, mais $f$ n'est pas une translation.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres