Un axe radical passant par G

% Jelobreuil - 10 Octobre 2021 - Un axe radical passant par G

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syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=a+b+c;
s2=a*b+b*c+c*a;
s3=a*b*c;

s1B=s2/s3;
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

vdm=(a-b)*(b-c)*(c-a);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre de gravité du triangle ABC

g=s1/3;
gB=s1B/3;

% Points coupants en 3 les côtés du triangle ABC
% Ce sont aussi les points où les parallèles aux côtés
% passant par G recoupent les autres côtés

a1=(2*b+c)/3;
a2=(b+2*c)/3;
b1=(2*c+a)/3;
b2=(c+2*a)/3;
c1=(2*a+b)/3;
c2=(a+2*b)/3;

a1B=(2*bB+cB)/3;
a2B=(bB+2*cB)/3;
b1B=(2*cB+aB)/3;
b2B=(cB+2*aB)/3;
c1B=(2*aB+bB)/3;
c2B=(aB+2*bB)/3;

% Centres et carrés des rayons des cercles circonscrits 
% aux triangles A1B1C1 et A2B2C2

[o1 o1B R1_2]=CercleTroisPoints(a1,b1,c1,a1B,b1B,c1B);
[o2 o2B R2_2]=CercleTroisPoints(a2,b2,c2,a2B,b2B,c2B);

% Axe radical de ces deux cercles

[pax qax rax]=AxeRadical(o1,o1B,R1_2,o2,o2B,R2_2);

F=9*s3*vdm/2;

pax=Factor(pax*F);
qax=Factor(qax*F);
rax=Factor(rax*F);

pax=FracSym(pax);
qax=FracSym(qax);
rax=FracSym(rax);

% On trouve:

pax = 6*s1^2*s3 - s1*s2^2 - 9*s2*s3;
qax = s3*(s1^2*s2 + 9*s1*s3 - 6*s2^2);
rax = - 2*s1^3*s3 + 2*s2^3;

NulG=Factor(pax*g+qax*gB+rax) % Égal à 0, donc cet axe passe par G

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% L'axe radical passe par le point de Lemoine X_6

x6=(2*s2^2-6*s1*s3)/(s1*s2-9*s3);
x6B=(2*s2B^2-6*s1B*s3B)/(s1B*s2B-9*s3B);

NulX6=Factor(pax*x6+qax*x6B+rax) % Égal à 0, donc cet axe passe par X_6

%-----------------------------------------------------------------------

% Les 6 points A1 A2 B1 B2 C1 C2 sont coconiques

S = Conique5Points(a1,a2,b1,b2,c1,a1B,a2B,b1B,b2B,c1B);

F=(2*a^4*b^2 + 5*a^4*b*c + 2*a^4*c^2 + 5*a^3*b^3 - 5*a^3*b^2*c - 5*a^3*b*c^2 + 5*a^3*c^3 + 2*a^2*b^4 - 5*a^2*b^3*c - 12*a^2*b^2*c^2 - 5*a^2*b*c^3 + 2*a^2*c^4 + 5*a*b^4*c - 5*a*b^3*c^2 - 5*a*b^2*c^3 + 5*a*b*c^4 + 2*b^4*c^2 + 5*b^3*c^3 + 2*b^2*c^4);

S=FactorT(F*S);

S1=FracSym(S(1));
S2=FracSym(S(2));
S3=FracSym(S(3));
S4=FracSym(S(4));
S5=FracSym(S(5));
S6=FracSym(S(6));

% On trouve:

S1 = 9*s2^2 - 27*s1*s3;
S2 = -9*s3*(9*s3 - s1*s2);
S3 = -9*s3^2*(- s1^2 + 3*s2);
S4 = 18*s3*s1^2 - 9*s1*s2^2 + 27*s3*s2;
S5 = 9*s3*(- s1^2*s2 + 3*s3*s1 + 2*s2^2);
S6 = s1^3*s3 + 2*s1^2*s2^2 - 27*s1*s2*s3 + s2^3 + 27*s3^2;
 
% Vérification que C_2 est dessus

NulC2=Factor(S1*c2^2+S2*c2*c2B+S3*c2B^2+S4*c2+S5*c2B+S6) 

% NulC2 est égal à 0, donc c'est gagné
% Note: Le fait que laconique par 5 points soit invariante 
% par permutation circulaire était déjà suffisant