Une relation avec des aires

Bonjour.

$A'=xB+(1-x)C$, etc. L'alignement est $\prod (1-x)-\prod x=0$. Tandis que 4(gauche-droite) vaut $S^3$ fois cela. On a donc la réciproque en prime.

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

Quelques détails sur mon code avec Morley circonscrit:
Pour un point $M(m)$ quelconque dont $A'B'C'$ est le triangle cévien, on pose:
$D(b,c) = b + c - m - bc\overline{m}$
$E(a,b,c) = bc + a^2 - am - abc\overline{m}$
$D(b,c)=0$ est alors une équation de la droite $(BC)$ et $E(a,b,c)=0$ une équation de sa parallèle passant par $A$.
On trouve $a'=\dfrac{(bc-a(b+c))m - a^2bc\overline{m} + a^2(b+c)}{E(a,b,c)}$ et permutation circulaire.
On pose aussi $vdm=(a-b)(b-c)(c-a)$ (Vandermonde).
On obtient alors:
$SA=Aire(AB'C')=vdm\dfrac{D(c,a)D(a,b)}{aE(b,c,a)E(c,a,b)}$ et permutation circulaire.
$S=Aire(ABC)=-\dfrac{vdm}{abc}$
$Sp=Aire(A'B'C')=2 vdm\dfrac{D(a,b)D(b,c)D(c,a)}{E(a,b,c)E(b,c,a)E(c,a,b)}$

Cordialement,

Rescassol

Bonjour A.D.,

y-a-t-il un problème avec le site?
Je n'arrive pas à envoyer un message...


Sincèrement
Jean-Louis

Je confesse un certain agacement envers certains contributeurs réguliers du sous-forum de géométrie. Il me semble que nous sommes un forum mathématique généraliste. Dans l'égalité demandée $\displaystyle [AB'C'] \cdot [BA'C'] \cdot [CA'B']=\frac{[A'B'C']^2 \cdot [ABC]}{4}$, la notation $[...]$ ne me semble pas normalisée pour tous les praticiens des mathématiques. Il serait correct alors de la définir. Et les solutions proposées, bien sûr excellentes, sont incompréhensibles pour le matheux-lambda comme moi.

Voici ma solution. Dans les vénérables ouvrages de Georges Papelier (1860-1943), j'ai trouvé une notation qui m'a semblé excellente pour l'aire algébrique d'un triangle orienté $(U,V,W)$ du plan euclidien orienté : $\overline{UVW}=\frac{1}{2}\det (\overrightarrow{UV}, \overrightarrow{UW})$, le déterminant étant pris dans une base orthonormale directe, donc invariant (lui ne le présentait pas ainsi, mais j'ai modernisé).
On suppose que $ABC$ est un vrai triangle (trois points non alignés). L'intersection $P$ de $AA'$, $BB'$, $CC'$ a pour coordonnées barycentriques $\alpha, \beta, \gamma$ relativement à $A,B,C$. On a : $\alpha+ \beta \neq 0$, $\beta+ \gamma \neq 0$, $\gamma+\alpha \neq 0$.
De simples calculs algébriques conduisent à :
$\overline{AB^{\prime }C^{\prime }}=-\frac{\beta \gamma }{(\alpha +\beta
)(\gamma +\alpha )}\overline{ABC}$, $~~~~\overline{BC^{\prime }A^{\prime }}=-\frac{\gamma \alpha }{(\beta +\gamma
)(\alpha +\beta )}\overline{ABC}$, $~~~~\overline{CA^{\prime }B^{\prime }}=-\frac{\alpha \beta }{(\gamma +\alpha
)(\beta +\gamma )}\overline{ABC}$,
et : $\overline{A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}=\frac{2\alpha \beta \gamma }{%
(\alpha +\beta )(\beta +\gamma )(\gamma +\alpha )}\overline{ABC}$.
En conséquence :
$\overline{AB^{\prime }C^{\prime }}\cdot \overline{BC^{\prime }A^{\prime }}%
\cdot \overline{CA^{\prime }B^{\prime }}=-(\frac{\alpha \beta \gamma }{%
(\alpha +\beta )(\beta +\gamma )(\gamma +\alpha )})^{2}\overline{ABC}^{3}=-%
\frac{1}{4}\overline{A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}^{2}~\overline{ABC}$
C'est une très belle identité, et il est étonnant qu'on ne la trouve pas dans les multiples traités classiques de géométrie, mais peut-être ai-je mal cherché.
Il m'est arrivé de poser en exercice l'aire maximum du triangle cévien $A'B'C'$ lorsque $A',B',C'$ sont situés sur les segments-côtés $[BC],[CA],[AB]$, exercice à double détente.

Bonne après-midi.
Fr. Ch.
09/10/2021