Géométrie axiomatique et distance

Bonjour Chaurien,
effectivement il s'agit bien de cet ouvrage. Je faisais référence à la définition de la multiplication de segments. Étant [donnés] deux segments de longeurs $a$ et $b$, on définit le segment de longueur $ab$ de la façon suivante :
- on part d'un triangle rectangle en $B$, $ABC$ tel que $AB=1$ et $BC=a$
- on construit $PQR$ semblable à $ABC$, rectangle en $Q$ tel que $PQ=b$ (et $\widehat{A}=\widehat{P}$)
la longueur $ab$ est alors, par définition, la longueur $QR$.

Partant de cette définition, on peut définir de façon analogue le rapport de deux longueurs :
- on part d'un triangle rectangle en $B$, $ABC$ tel que $AB=a$ et $BC=b$
- on construit $PQR$ semblable à $ABC$, rectangle en $Q$ tel que $PQ=1$ (et $\widehat{A}=\widehat{P}$)
Le rapport $\frac{b}{a}$ serait alors $QR$.

Concrètement, cela revient à peu de choses près, à considérer le théorème de Thalès comme un axiome...

L'autre façon de procéder serait de disposer d'une application "longueur" qui a tout couple de points $AB$, associe la longueur $AB$... à partir de ça, on peut définir les homothéties ... et démontrer le théorème de Thalès à partir des homothéties. Dans ce cas, c'est une conséquence triviale du fait que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle...

Bref, j'ai l'impression d'une petite embrouille autour de ce brave Thalès ...
Merci et bonne journée.
F.

Bonsoir Chaurien,

j'essaye de préparer un cours destiné à des étudiants de L3, enseignement, dont l'objectif est de fournir une présentation axiomatique de la géométrie du plan euclidien.
Comme tu l'as deviné, je me base sur l'ouvrage "Geometry: Euclid and Beyond" et essaye donc de comprendre comment s'agencent les théorèmes standards de cette géométrie, dont le fameux théorème de Thalès.

Si j'ai bien compris, l'axiome de congruence des angles (SAS dans la référénce), qui permet de définir les triangles "isométriques" permet entre autre de montrer les deux autres cas d'isométrie.

Il en découle qu'un triangle rectangle est parfaitement déterminé par la donné d'un côté et des angles adjacents à ce côté et justifie le fait que le "poduit de deux segments" est défini à isométrie près.

Cette définition étant posé, on peut définir donner un sens à l'égalité $frac{AM}{AB}=frac{AN}{AC}$ (ce qui n'a rien d'évident si l'on ne sait pas "mesurer" les segments mais uniquement les comparer).

Enfin, on peut maintenant montrer que deux triangles ayant des angles deux à deux égaux ont des côtés deux à deux proportionnels et finalement démontrer le théorème de Thalès.

Ce dernier théorème étant dans la musette, on est en mesure de définir, étant donné trois points $O,A,B$ l'homothétie de centre O, qui transforme $A$ en $B$ sans recours à l'aspect vectoriel.

Cela semble-t-il correct ?

Merci et bonne soirée

F.

PS: Sur ce je vais aller jeter un oeil sur ce papier de l'apmep ;-)

Bonjour à tous

@pierre : ce n'est pas moi qui décide du programme ;-)

@chaurien : c'était juste l'allusion au bon élève de troisième de 1971, sensé pouvoir comprendre la démonstration de ce fameux théorème, qui m'a amusée...;-)

Bonne journée.
F.