Construction
Bonjour à tous
Vous avez sous les yeux deux droites parallèles $L\ $ et $L'.\qquad$
Dans la bande définie par les droites $L\ $ et $L'\ $, on se donne un triangle $ABC.\qquad$
Maintenant, il s'agit de construire les ellipses passant par les points $A\ $, $B\ $, $C\ $ et tangentes aux droites $L\ $ et $L'.\qquad $
J'en ai tracé une, à vous de découvrir les autres!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Vous avez sous les yeux deux droites parallèles $L\ $ et $L'.\qquad$
Dans la bande définie par les droites $L\ $ et $L'\ $, on se donne un triangle $ABC.\qquad$
Maintenant, il s'agit de construire les ellipses passant par les points $A\ $, $B\ $, $C\ $ et tangentes aux droites $L\ $ et $L'.\qquad $
J'en ai tracé une, à vous de découvrir les autres!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Réponses
-
Bonjour,
Les centres de ces ellipses étant équidistants des droites $L\ $ et $L'\ $, il est facile de se convaincre qu'il n'y en a que deux possibles. -
Merci Ludwig
Puisque tu parais si convaincu, pourquoi n'as-tu pas tracé ces deux ellipses?
Ce petit problème n'est qu'un cas particulier d'un problème projectif très connu de nos anciens, construire les coniques passant par trois points et tangentes à deux droites.
Mais comme on le sait la géométrie projective et donc le groupe projectif ont disparu à tout jamais de notre culture rendant la solution de ce problème hors de portée de nos étudiants et sans doute de leurs enseignants eux-mêmes!
Dans le cas où les deux droites sont parallèles, on peut cependant faire jouer la géométrie affine et son groupe qui eux sont encore très provisoirement sans doute dans nos programmes!
Alors profitons en vite pendant qu'il est encore temps!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
La figure n'est pas facile à faire surtout si on veut la faire tenir dans les limites de l'épure mais j'y suis plus ou moins arrivé!
On peut sans doute mieux faire!
En tout cas j'en ai trouvé deux fois plus que le décompte convaincu de Ludwig! -
Plutôt trois en fait :-)
-
Mon cher Ludwig
Plutôt trois?
Ce n'est pas une réponse très mathématique!
Et ma figure en montre quatre!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Oui, quatre!
-
Merci Ludwig
Ta figure est plus belle que la mienne!
Peux-tu nous expliquer comment tu l’as obtenue?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Peut-être Ludwig avait-il eu l'intuition de deux ellipses en appliquant un théorème de Desargues au faisceau des coniques passant par $A,B,C$ et tangentes à $L$ pour obtenir une involution de la droite $L'$ à deux points fixes.
Le parallélisme de $L$ et $L'$ change manifestement la donne !
Maître pappus nous étonnera toujours ! -
Mon cher Gai Requin
Toute la théorie des coniques projectives tourne plus ou moins autour des théorèmes de Desargues.
Le plus difficile est de les appliquer correctement.
Mais ici on a affaire à des droites parallèles, ce qui ne peut se produire que dans un plan affine.
Et cela tombe bien et même très bien puisqu'on ne sait plus ce qu'est un plan projectif.
Oubliés, envolés les théorèmes de Desargues, on ne les reverra plus jamais.
Ils se sont faits la malle définitivement et on peut affirmer que le sieur Girard Desargues Lyonnois s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose dans notre belle république analphabète mais pas dans le doux royaume de France évidemment qui était plus tolérant en matière de géométrie.
Ce qui va faire marcher la boutique dans le maigre cadre des programmes actuels, c'est le sous groupe $G\ $ du groupe affine stabilisant les droites $L\ $ et $L'\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Supposons donnée une ellipse $\Gamma$ passant par $A,B,C$ et tangente à $L$ et $L'$.
La parallèle à $L$ passant par $C$ recoupe $\Gamma$ en $c$.
Alors $\Gamma'$, l'image de $\Gamma$ par l'affinité d'axe $AB$ qui envoie $c$ sur $C$, est aussi une ellipse passant par $A,B,C$ et tangente à $L$ et $L'$.
On peut de même construire les deux autres ellipses en considérant deux nouvelles affinités, l'une d'axe $AC$ et l'autre d'axe $BC$. -
Merci Gai Requin
Il y a de l'idée dans ce que tu viens d'écrire puisque tu as fait intervenir un élément du groupe en question.
Tout le problème est de trouver une conique tangente aux droites $L\ $ et $L'\ $ mais ne passant pas forcément par les points $A\ $, $B\ $, $C!!\qquad $
N'oublie pas qu'on travaille dans un espace euclidien (accessoirement affine pour la plupart de nos étudiants!).
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Pas la moindre intuition me concernant, juste un petit calcul (raté) sur le nombre de points d'intersection d'une ellipse avec une droite. J'ai pris un point $O$ équidistant de $L$ et $L'$ puis j'ai construis l'ellipse de centre $O$ passant pat $A$, $B$ et $C$ en me servant de la macro conique passant par $5$ points (les symétriques de $A$, $B$ et $C$ par rapport à $O$ sont aussi sur cette conique).
Ensuite c'est mon bidouillage habituel : j'obtiens une figure très précise par convergence (je fais varier $O$ proportionnellement à une quantité qui tend vers $0$ lorsque l'ellipse se rapproche des droites). -
Merci Ludwig
Ta méthode conduit effectivement à un résultat mais on ne peut la qualifier de construction, au pire un bidouillage au mieux une technique intéressante de convergence informatique dans un espace topologique à préciser plutôt confus
Gai Requin lui est sur une très bonne voie qui n'est pas celle (défunte) de Girard Desargues.
Amicalement -
Bonsoir pappus,
J'applique la même méthode.
Par une première affinité de direction $L$ et d'axe passant par $A$, on envoie un cercle $\gamma$ passant par $A$ et tangent à $L$ et $L'$ sur une ellipse $\gamma'$ passant par $A,B$ et tangente à $L$ et $L'$.
Par une deuxième affinité de direction $L$ et d'axe $AB$, on envoie $\gamma'$ sur une ellipse $\Gamma$ qui répond à ton problème.
Reste à faire la figure ! -
Mon cher Gai Requin
Combien de ceux qui te lisent savent construire un cercle passant par $A\ $ et tangent aux droites $L\ $ et $L'?\qquad$
Il n'y en a pas beaucoup sinon aucun?
Recommence ton baratin en partant d'un cercle quelconque tangent aux droites $L$ et $L'!!!!!\qquad$
J'entresuperpose que là, il y en a quand même quelques uns qui savent construire un tel cercle!!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
C'est plus facile de tracer un tel cercle que l'image d'une conique par une affinité !
-
Mon cher Gai Requin
Tout ce qu'on a à faire est de tracer l'image par une affinité à déterminer des points de contact d'un cercle avec les droites $L\ $ et $L'\ $ puis à tracer avec l'ordinateur une conique passant par cinq points.
Par contre il faut m'expliquer clairement pourquoi on obtient ainsi 4 ellipses!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
En attendant voici une construction des cercles passant par $A$ et tangents aux droites $L\ $ et $L'\ $ : on prend un point $M$ équidistant de ces droites et on construit le cercle centré sur ce point et tangent à ces deux droites. Une intersection de ce cercle avec la parallèle à $L\ $ passant par $A$ nous donne le rayon des deux cercles recherchés.
-
Merci Ludwig
Ce qui est étonnant, c'est que tu n'as pas utilisé ton bidouillage habituel et que tu as réussi à nous expliquer ta construction sans parler de translation!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci Ludwig d'avoir montré que le cercle $\gamma$ dont j'ai parlé n'est pas si difficile à tracer.
Next step : la parallèle à $L$ passant par $B$ coupe $\gamma$ en un point $b$ ($2$ choix).
Soit $M\notin AB$.
L'affinité d'axe $AM$ qui envoie $b$ sur $B$ envoie $\gamma$ sur une ellipse $\gamma'$ passant par $A,B$ et tangente à $L$ et $L'$.
Final step : La parallèle à $L$ passant par $C$ coupe $\gamma'$ en $c$ ($2$ choix).
L'affinité d'axe $AB$ qui envoie $c$ sur $C$ envoie $\gamma'$ sur une ellipse $\Gamma$ passant par $A,B,C$ et tangente à $L$ et $L'$.
Et $2\times 2=4$ ! -
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves!
Une bonne figure vaut mieux qu'un long discours
Le cercle étant donné tangent aux droites $L\ $ et $L'\ $, il y a 8 choix possibles pour le triangle $\alpha\beta\gamma.\qquad$.
Le triangle $\alpha\beta\gamma$ étant choisi, on construit l'axe de l'affinité en pointillé rouge puis les images $S\ $ et $S'\ $ des points de contact $\sigma\ $ et $\sigma'$ du cercle.
Et finalement on trace la conique $(ABCSS')\qquad$.
Pourquoi n'obtient-on que 4 coniques au lieu de 8 par cette méthode?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Comparer avec le traitement de ce problème dans
The Universe of Conics de Georg Gleaser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal publié chez Springer
4.4 Spatial interpretation of conic constructions, page 162.
On devrait trouver cet ouvrage en ligne sans trop de difficultés? -
Bonjour à tous
Par acquit de conscience, je donne la construction projective des points de contact qui n'a évidemment rien à voir avec la jolie construction affine précédente puisqu'elle reste valable même si les droites $L\ $ et $L'\ $ sont concourantes.
Je donne cette construction sans la justifier.
A quoi bon se décarcasser!
Cela ne sert à rien!
Tout d'abord on construit les intersections respectives $(a,a')\ $, $(b,b')\ $, $(c,c')\ $ des droites $BC\ $, $CA\ $, $AB\ $ avec les droites $L\ $ et $L'.\qquad$
Cela semble assez naturel!
Mais ça se complique ensuite.
Les points $p\ $ et $p'\ $ sont les points fixes de l'involution définie sur la droite $BC\ $ par les paires de points homologues $(B,C)\ $ et $(a,a').\qquad$.
Autrement dit on a des divisions harmoniques:
$$(p,p',B,C)=(p,p',a,a')=-1$$
Construire ces points $p\ $ et $p'\ $, c'est déjà une construction dans la construction!!
On peut compter sur les doigts d'une seule main les étudiants actuels capables d'effectuer cette construction!
Prière d'aller farfouiller son Lebossé-Hémery au bon endroit qui plus est!
Par permutation circulaire (kesaco?), on construit aussi les paires de points fixes $(q,q')\ $ et $(r,r').\qquad$
On montre alors (eh, eh, eh!) que ces trois paires se répartissent démocratiquement trois par trois sur les côtés d'un quadrilatère complet que j'ai tracé en rouge sur la figure.
Chaque côté de ce quadrilatère complet fournit par intersection avec les droites $L\ $ et $L'\ $ une paire de points de contact.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour pappus,
Quel dommage qu'on ait laissé tomber le projectif !
Et puis qui connaît les affinités affines ?
Bref, regardons le faisceau des coniques tangentes à $L$ en $S$ et à $L'$ en $S'$.
Ce faisceau contient $L\cup L'$ et la droite double $SS'^2$.
Ce faisceau induit une involution $aB\mapsto a'C$ de la droite $BC$ (Desargues).
L'un de ses points fixes $p$ est sur $SS'$.
On construit de même $q\in AC\cap SS'$.
D'où $SS'=pq$. -
Bonjour,
Le centre $E$ se trouve nécessairement sur la parallèle equidistante. On part donc des coordonnées barycentriques $[\rho,\sigma,\tau]$ de cette droite et l'on a:$$ D_1,D_2\simeq [\rho\pm k,\sigma\pm k,\tau\pm k]\;;\; E\simeq \frac 1 {\rho}:{\frac {t}{\sigma}}:{\frac {-1-t}{\tau}} $$
A partir du centre $E$, on trouve le perspecteur $P$ de la conique circoncrite, puis sa matrice, puis la matrice de la conique tangentielle. Et on écrit que $D_1$ est tangente. On récupère une équation de degré 4 en $t$. On vérifie que $D_2$ est tangente elle aussi (le doute portait sur une erreur de calcul éventuelle, pas sur le contact). On regarde l'équation au fond des yeux, et on voit que cette équation est invariante par $$t\mapsto A/t,\quad {\rm{avec}} \quad A={\frac { \left( {\rho}^{2}-{\tau}^{2} \right) {\sigma}^{2}}{ \left( {
\sigma}^{2}-{\tau}^{2} \right) {\rho}^{2}}}
$$
Ah, la belle involution que voilà ! On pose donc $u=t+A/t$ et on trouve: $$
u = {\frac {\pm 2\,\sigma\,{\tau}^{2}W}{{k}^{2} \left( \sigma^2-\tau^2 \right) \rho}}
-{\frac { 2\,\left( k^2-\tau^2 \right) {\sigma}^{2}}
{ \left( \sigma^2-\tau^2 \right) {k}^{2}}} \quad {\rm{avec}} \quad
W=\sqrt { \left( k^2-\sigma^2 \right) \left( k^2-\rho^2 \right) }
$$
On remarquera que ceci est une solution générale, puisque deux droites sont toujours parallèles, il suffit de changer de droite de l'infini.
Cordialement, Pierre. -
Suite.
On peut même résoudre jusqu'au bout : les centres sont
$$
\left[\begin{array}{c} \left(\tau-\sigma\right)\left(W_{a}+W_{b}+W_{c}+\big(k^{2}-\rho\,\sigma-\rho\,\tau+\sigma\,\tau\big)\right)\\ \left(\rho-\tau\right)\left(W_{a}+W_{b}+W_{c}+\big(k^{2}-\rho\,\sigma-\sigma\,\tau+\rho\,\tau\big)\right)\\ \left(\sigma-\rho\right)\left(W_{a}+W_{b}+W_{c}+\big(k^{2}-\rho\,\tau-\sigma\,\tau+\rho\,\sigma\big)\right) \end{array}\right] \\ ~ \\
{\rm avec \quad } W_{a}=\sqrt{\left(k^{2}-\tau^{2}\right)\left(k^{2}-\sigma^{2}\right)};\quad W_{b}=\sqrt{\left(k^{2}-\rho^{2}\right)\left(k^{2}-\tau^{2}\right)};\quad W_{c}=\sqrt{\left(k^{2}-\sigma^{2}\right)\left(k^{2}-\rho^{2}\right)}.
$$ Caveat : pour conjuguer les radicaux, il faut deux changements de signes (ou aucun). Sinon, cela donnerait huit centres...
Cordialement, Pierre. -
Merci Pierre de nous exposer si brillamment ta méthode de calcul!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Dans le même ouvrage The Universe of Conics que j'ai cité, on trouvera la preuve de la construction projective que j'ai donnée:
Example 7.4.3 Conics on three points and two tangents, page 313
D'après mes souvenirs plus que douteux, on devrait aussi la trouver dans le dernier tome des exercices de géométrie moderne (prière de ne pas rire!) de Papelier -
pappus,
Je n'ai pas ce livre mais j'ai ébauché un truc [ici]... -
Pappus a raison, cet ouvrage se trouve en effet facilement en ligne. J'ai suivi l'idée page 162, à savoir que la construction de ce fil peut-être vue comme une projection d'un objet 3D (ici un cylindre coupé par des plans) pour obtenir la figure en trois clics avec GGB : j'ai créé un cylindre d'axe $(Ox)$, placé trois points $A$, $B$ et $C$ dessus. Ensuite j'ai construis les symétriques $A'$, $B'$ et $C'$ de ces points par rapport au plan $y=0$ : en choisissant la vue de face liée à ce plan un point et son image vont, à nos yeux, s'y superposer. Puis j'ai construis les ellipses intersection du cylindre avec les plans $ABC$, $ABC'$, etc.
Le fichier GGB joint est présenté avec cette vue de face. Vous pouvez bien sûr faire tourner la figure comme d'habitude, et faire apparaître le cylindre grâce au menu algèbre. -
Merci Ludwig de nous révéler toutes les potentialités de GeoGebra!
Amicalement
[small]p[/small]appus
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