Des segments égaux dans l'heptagone régulier

jelobreuil · September 2021

Bonsoir à tous
Je vous propose ce qui suit.

Soit un heptagone régulier ABCDEFG, les diagonales AE et BG se coupent en H, AC et BG en I, AC et BE en J.
L'arc de cercle de centre E et de rayon EF coupe EA en M et EB en L.
1) Montrer que HM = HJ = HG.
2) L'arc de cercle de centre H et de rayon HJ recoupe en K la diagonale BE. Montrer que KL = HI (d'après Geogebra, c'est vrai ...).
Merci de votre intérêt !
Cordialement, JLB 127154

Rescassol · October 2021

Bonjour Jelobreuil,

Le calcul en nombres complexes confirme tes affirmations:

% Jelobreuil - 30 Septembre 2021 - des segments égaux dans l'heptagone régulier

clear all, clc

syms r % r=exp(2*i*pi/7) ou r^7=1 ou r^6+r^5+r^4+r^3+r^2+r+1=0

rB=1/r;

a=1;
b=r;
c=r^2;
d=r^3;
e=r^4;
f=r^5;
g=r^6;

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;
dB=1/d;
eB=1/e;
fB=1/f;
gB=1/g;

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection H des droites (AE) et (BG)

[pae qae rae]=DroiteDeuxPoints(a,e,aB,eB); % Droite (AE)
[pbg qbg rbg]=DroiteDeuxPoints(b,g,bB,gB); % Droite (BG)

[h hB]=IntersectionDeuxDroites(pae,qae,rae,pbg,qbg,rbg);

h=Factor(h)

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection I des droites (AC) et (BG)

[pac qac rac]=DroiteDeuxPoints(a,c,aB,cB); % Droite (AC)

[ii iiB]=IntersectionDeuxDroites(pac,qac,rac,pbg,qbg,rbg);

ii=Factor(ii)

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection J des droites (AC) et (BE)

[pbe qbe rbe]=DroiteDeuxPoints(b,e,bB,eB); % Droite (BE)

[j jB]=IntersectionDeuxDroites(pac,qac,rac,pbe,qbe,rbe);

j=Factor(j)

%-----------------------------------------------------------------------

% Vérification de HJ=HG

HJ2=Factor((j-h)*(jB-hB))
HG2=Factor((g-h)*(gB-hB))

Nul1=Factor(HJ2-HG2)

% Nul1=0 car r^6+r^5+r^4+r^3+r^2+r+1 est en facteur donc HJ=HG

%-----------------------------------------------------------------------

% Vérification de HM=HG

m=Factor(e+r*(f-e))
mB=eB+rB*(fB-eB);

HM2=Factor((m-h)*(mB-hB))

Nul2=Factor(HM2-HG2)

% Nul2=0 car r^6+r^5+r^4+r^3+r^2+r+1 est en facteur donc HM=HG

%-----------------------------------------------------------------------

% Calcul de L

l=Factor(e+(d-e)/r)
lB=eB+(dB-eB)/rB;

% Calcul de K

syms k 

kB=-(pbe*k+rbe)/qbe; % K est sur (BE)

NulK=Factor((k-h)*(kB-hB)-(j-h)*(jB-hB)) % K est sur le cercle (H HJ)
NulK=numden(Factor(NulK/(j-k))) % mais K n'est pas J
coK=coeffs(NulK,k,'All')

k=Factor(-coK(2)/coK(1))

F(r)=k;
kB=F(rB); % r --> rB pour avoir le conjugué kB

%-----------------------------------------------------------------------

% Vérification de KL=HI

KL2=Factor((l-k)*(lB-kB));
HI2=Factor((ii-h)*(iiB-hB));

Nul3=Factor(KL2-HI2)

% Nul3=0 car r^6+r^5+r^4+r^3+r^2+r+1 est en facteur donc KL=HI

Cordialement,

Rescassol

pldx1 · October 2021

Bonjour,

On pose $\tau=\exp\left(2i\pi/7\right)$. On a donc, à une similitude près, les sommets :
\[
A=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}
\tau\\
1\\
\tau^{6}
\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}
\tau^{2}\\
1\\
\tau^{5}
\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}
\tau^{3}\\
1\\
\tau^{4}
\end{array}\right],E=\left[\begin{array}{c}
\tau^{4}\\
1\\
\tau^{3}
\end{array}\right],F=\left[\begin{array}{c}
\tau^{5}\\
1\\
\tau^{2}
\end{array}\right],G=\left[\begin{array}{c}
\tau^{6}\\
1\\
\tau
\end{array}\right]
\]
On calcule... et on vérifie en reportant dans Geogebra
\begin{gather*}
H=\left[\begin{array}{c}
\tau^{4}-\tau^{3}+\tau\\
1\\
\tau^{6}-\tau^{4}+\tau^{3}
\end{array}\right],I=\left[\begin{array}{c}
\tau^{6}-\tau^{5}+\tau^{4}-\tau^{3}+\tau^{2}\\
1\\
\tau^{5}-\tau^{4}+\tau^{3}-\tau^{2}+\tau
\end{array}\right],J=\left[\begin{array}{c}
-\tau^{5}+\tau^{4}+1\\
1\\
\tau^{3}-\tau^{2}+1
\end{array}\right],\\
K=\left[\begin{array}{c}
\tau^{5}-\tau^{3}+\tau^{2}+\tau-1\\
1\\
\tau^{6}+\tau^{5}-\tau^{4}+\tau^{2}-1
\end{array}\right],L=\left[\begin{array}{c}
\tau^{4}-\tau^{3}+\tau^{2}\\
1\\
\tau^{5}-\tau^{4}+\tau^{3}
\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{c}
\tau^{6}-\tau^{5}+\tau^{4}\\
1\\
\tau^{3}-\tau^{2}+\tau
\end{array}\right]
\end{gather*}
Et on trouve les valeurs communes des carrés des distances:
\[
-2\,\tau^{5}+3\,\tau^{4}+3\,\tau^{3}-2\,\tau^{2}+5,\quad\tau^{5}+3\,\tau^{4}+3\,\tau^{3}+\tau^{2}+6
\]
Il ne reste plus qu'à expliciter la partie "on calcule".

Cordialement, Pierre.