Isotomie et ellipse

Bonjour.

Les noms ne me plaisent pas (=je ne suis pas fichu de m'en souvenir). On appelle donc $Mn$ le point $PM \cap P'N$. $K$ est donc le point commun aux droites $(Ab,Ba)$, etc.

En posant $P\simeq p:q:r$, on trouve $K \doteq \kappa(P) \simeq p \left( {q}^{2}+{r}^{2} \right) : q \left( {p}^{2}+{r}^{2} \right) : r \left( {p}^{2}+{q}^{2} \right)
$. Il est clair que $\kappa(P')=\kappa(P)$ et donc $\kappa$ n'est pas régulière. Remarques en passant:
1. $\kappa$ commute avec les transformations de Lemoine.
2. Le lieu de $\det \circ \rm{gradient}$ nul est $3\,{p}^{4}{q}^{2}+3\,{p}^{4}{r}^{2}+3\,{p}^{2}{q}^{4}-18\,{p}^{2}{q}^{
2}{r}^{2}+3\,{p}^{2}{r}^{4}+3\,{q}^{4}{r}^{2}+3\,{q}^{2}{r}^{4}$, courbe dont le centre de gravité et ses associés sont des points isolés.


En faisant varier $q$ seul, la droite $BP$ reste inchangée, le point $P$ coulissant sur cette droite. Comme la dépendance en $q$ est du second degré, le lieu de $K$ est une conique. Un coup de locusconi en donne la matrice. Posons alors $W=BP \cap AC, W'=BP' \cap AC$. Lorsque $P$ est en $W$, alors $P'$ est en $B$ et $K$ est en $W'$. Lorsque $P$ est en $B$, alors $P'$ est en $W'$ et $K$ est en $W$.

Cordialement, Pierre