B=60° et A=2C

% Bouzar - 08 Septembre 2021 - B=60° et A=2C

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syms r % r=sqrt(3)

j=(-1+i*r)/2;
jB=1/j;

% On part du triangle de contact UVW avec un angle de 60°

syms u v

w=u/j;

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u);
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Longueurs des côtés du triangle ABC

BC=-2*i*u*(v-w)/((u+v)*(u+w));
CA=-2*i*v*(w-u)/((v+w)*(v+u));
AB=-2*i*w*(u-v)/((w+u)*(w+v));

%-----------------------------------------------------------------------

% Condition pour que IC=AB

IC2=Factor(c*cB);

Eq1=numden(Factor((IC2-AB^2)/4));

Eq1=subs(Eq1,r^2,3);
Eq1=subs(Eq1/8,r^3,3*r)

% On trouve:

Eq1 = 2*u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - u^3*v - u^4 - v^4 + r*u^3*v*1i;

%-----------------------------------------------------------------------

% Condition pour que A=2C

cosA=(AB^2+CA^2-BC^2)/(2*AB*CA);
cosC=(BC^2+CA^2-AB^2)/(2*BC*CA);

Eq2=numden(Factor(2*cosC^2-1-cosA));

Eq2=subs(expand(Eq2/2),r^2,3)

% On trouve:

Eq2 = u*v^3 - r*v^4*1i - r*u^4*1i - 2*u^3*v + u^4 + v^4 + r*u*v^3*1i;

%-----------------------------------------------------------------------

% Élimination de u entre Eq1 et Eq2

pol1=coeffs(Eq1,u,'All');
pol2=coeffs(Eq2,u,'All');
R=Factor(Resultant(pol1,pol2))

% On trouve:

R = 3*v^16*(r^2 - 3)^4 % R=0 car r^2=3, donc c'est gagné !!