Un milieu au compas seul

Bonsoir à tous
Comme je ne veux pas polluer le fil initié par Djelloul Sebaa "bissectrice à la règle seule", j'ouvre cette discussion, inspirée de la remarque de Pappus sur la construction d'un milieu à la règle seule.
Ma première réaction avait été d'écrire "... alors qu'au compas seul ... " en faisant allusion à mon échange avec Pappus dans le fil "Transformation de Möbius", mais à la réflexion, cette allusion me parut déplacée et j'ai donc biffé cette phrase.
Mais j'ai voulu en avoir le cœur net : est-il possible de construire le milieu de deux points à l'aide du compas seul ?
La réponse est positive, mais il me faut tracer 16 cercles ou arcs de cercles, et j'obtiens le milieu cherché comme le point de tangence de deux cercles, voir la figure jointe (j'ai laissé incomplète cette figure pour qu'elle reste lisible ...).
Y a-t-il une façon de résoudre ce problème qui soit plus rapide et moins dispendieuse en coups de compas ?
Bien cordialement.
JLB
PS: Bon, mais ce n'est pas tout, ça ! Il s'agirait maintenant de justifier cette construction ! Et là, y a du boulot, hein, Pappus ?
Edit : ... d'autant plus que c'est faux ! Je me suis encore laissé avoir par l'apparence d'une figure trop petite ...
Mille excuses pour la fausse annonce, mais je ne renonce pas encore ...