Deux perpendiculaires sous une condition
dans Géométrie
Bonjour
1. ABC un triangle tel que AB + AC = 4.BC
2. N le centre du cercle d’Euler de ABC
3. Na le point de Nagel de ABC.
Question : (NaN) est perpendiculaire à (BC).
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
1. ABC un triangle tel que AB + AC = 4.BC
2. N le centre du cercle d’Euler de ABC
3. Na le point de Nagel de ABC.
Question : (NaN) est perpendiculaire à (BC).
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
$AB+AC=4BC$ signifie que $A$ est sur une ellipse de foyers $B$ et $C$.
Soient dans un repère orthonormé $B(-1;0)$ et $C(1;0)$, cette ellipse a pour équation $15x^2+16y^2=240$ qu'on peut paramétrer par $x=4\cos(t)$ et $y=r\sin(t)$, où $r=\sqrt{15}$.
On trouve alors $N\Big(2\cos(t);\dfrac{r(31\sin(t)^2-15)}{60\sin(t)}\Big)$ et $Na\Big(2\cos(t);\dfrac{3r\sin(t)}{5}\Big)$.
Les abscisses étant égales, les droites $(BC)$ et $(NNa)$ sont orthogonales.
Les coordonnées du $N$ et $Na$ se trouvent grâce à leurs coordonnées barycentriques trouvées dans l'ETC et les longueurs des côtés du triangle $ABC$ égales à $2,4-\cos(t),4+\cos(t)$.
On peut en déduire facilement les lieux de $N$ et de $Na$ quand $A$ décrit l'ellipse (une autre ellipse pour $Na$).
Cordialement,
Rescassol
J'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence :
$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$
Le centre du cercle d’Euler N de ABC et le point de Nagel Na de ABC :
$N, Na \simeq \left[\begin{array}{c} -(b^2 - c^2)^2 + a^2 (b^2 + c^2)\\ -(-a^2 + c^2)^2 + b^2 (a^2 + c^2)\\ -(a^2 - b^2)^2 + (a^2 + b^2) c^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -a + b + c\\ a - b + c\\ a + b - c\end{array}\right].$
La droite (NaN) :
$(NaN) \simeq \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right].$
La droite (BC) :
$(BC) \simeq \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right].$
On a :
$ \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right]^t \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right] =$
$ (a - b - c) (4 a - b - c) (a + b - c) (-b + c) (a - b + c) (a + b + c).$
Or par hypothèse, ABC est un triangle tel que $AB + AC = 4.BC.$
On a $b+c = 4a$ donc $4a-b-c = 0.$
Par suite, on obtient :
$\small \left[\begin{array}{c}-(b - c) (2 a^3 - a^2 (b + c) + (b - c)^2 (b + c) - 2 a (b^2 - b c + c^2))\\ (a - c) (a^3 -
a (b - c)^2 + (b - c) (2 b - c) (b + c) - a^2 (2 b + c))\\ -(a - b) (a^3 - a (b - c)^2 + (b - 2 c) (b - c) (b + c) - a^2 (b + 2 c))\end{array}\right]^t \times \left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 & - a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2 - b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2 & 2c^2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right] = 0.$
Ainsi, les droites $(NaN)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Amicalement
merci pour vos preuves qui confirment le résultat proposé...
Après avoir construit au compas les sommets de ABC, une preuve synthétique a pu se dégager....
Any other ideas are welcome...
Sincèrement
Jean-Louis
J'avais fait comme ça en barycentriques, mais Bouzar m'a devancé: Cordialement,
Rescassol
Une question, peut-être "sotte et grenue", me vient à l'esprit : y aurait-il une relation qui puisse s'exprimer simplement entre l'angle des droites NNa et BC d'une part, et le nombre rapport de longueurs (AB + AC)/BC d'autre part ?
Bonne journée, bien cordialement
JLB
si vous arrivez à construire un tel triangle, la preuve peut jaillir....
Sincèrement
Jean-Louis