Triangles particuliers à rechercher

Léon Claude Joseph · June 2021

Triangles particuliers.
Si (a, b, c) = (7 ; 6 ; 8), la bissectrice AE a pour mesure 6, EB = 4 et EC = 3.
Je lance un avis de recherche pour trouver d’autres triangles en nombres entiers, ayant une bissectrice de mesure entière et découpant sur son côté des segments de mesures entières.
Merci.

fm_31 · June 2021

Une possibilité issue des particularités des triangle de côté a , a+n , a+2n 124290

jelobreuil · June 2021

Bonjour à tous,
Il me semble que la difficulté réside dans le fait d'exiger que la longueur de la bissectrice soit entière : en effet, il est facile de prendre un entier qui a suffisamment de diviseurs entiers pour définir les côtés adjacents à l'angle considéré et les segments découpés par la bissectrice sur le troisième côté, entre lesquels il existe une proportionnalité.
Par exemple, on a 30 = 3x10 = 6x5 : dans un triangle (rectangle) de côtés 6, 8 et 10, le côté de longueur 8 est divisé par la bissectrice de l'angle opposé en deux segments de longueurs 3 et 5. Mais la bissectrice a pour longueur 3(racine de 5) ... ce qui me semble d'ailleurs assez curieux pour être noté !
Il faut donc, à partir de l'expression (assez compliquée) de la longueur d'une bissectrice en fonction des côtés, chercher les solutions entières d'un système d'équations du second degré ...
Cette démarche vous semble-t-elle praticable ?
fm_31, les éléments que tu donnes vérifient-ils cette expression de la longueur d'une bissectrice ?
Bien cordialement
JLB

Dreamer · June 2021

Bonjour.

Pour rappel, une bissectrice n'a pas de longueur.

Par contre, le segment s'appuyant dessus et intérieur au triangle en a une.

À bientôt.

Léon Claude Joseph · June 2021

Merci fm_31.
Je ne connaissais pas cette propriété.

fm_31 · June 2021

Une des propriétés des triangles de côté a , a+n et a+2n est illustrée dans le schéma joint .
Appliquée au triangle a=6 et n=2 (6,8,10) qui est rectangle donne bien $3 \sqrt{5}$ pour la longueur de la bissectrice 124300

jelobreuil · June 2021

Bonsoir à tous,
En fait, c'est plus simple que ce que je pensais : les relations classiques x.y=bc-l² et x+y=a où x et y désignent les longueurs des segments découpés sur BC par la bissectrice de l'angle en A, et l la longueur du segment de bissectrice AD, D étant sur BC, montrent que x et y sont les racines d'une équation du second degré, à coefficients entiers dans notre cas. Il s'agit donc de voir quelles relations entre ces coefficients font que ces racines sont entières ...
Merci à LCJ d'avoir posé cette question qui m'a permis de découvrir quelques petites choses simples que j'ignorais ...
Bien cordialement
JLB

fm_31 · June 2021

Autre triangle (96, 97, 98)
bissectrice = 84
côté 97 partagé en (48+ 49)

et encore triangle (50, 52, 54)
bissectrice = 45
côté 52 partagé en (25+ 27)

jelobreuil · June 2021

Bonsoir à tous,
En introduisant l'expression de l², bc(1 - a²/(b+c)²), dans le système d'équations indiqué dans mon précédent message, j'aboutis, pour les longueurs des segments découpés sur BC par la bissectrice de l'angle en A, aux expressions suivantes en fonction des longueurs respectives a, b et c des côtés BC, AC et AB :
x = ab/(b+c), y = ac/(b+c).
Si l'on pose a = d+n, b = d+2n, et c = d, on retrouve les expressions indiquées sur la figure de fm_31.
Mais est-ce la seule possibilité ?
D'autre part, je trouve pour l² l'expression 3d(d+2n)/4 : pour que l soit entier, il faut que 3d(d+2n) soit le carré d'un nombre pair, donc , au moins, que d soit pair et que d ou d+2n soit divisible par une puissance impaire de 3 (3, 27, 243, ...).
Avec d = 50, n = 2 : l² = 3.50.54/4 = 2025 = 45²
Mais ce n'est pas suffisant : avec d = 6 et n = 2, l² = 180/4 = 45 n'est pas un carré parfait ...
Bien cordialement
JLB

Léon Claude Joseph · June 2021

Je reprends l’idée de fm_31 en la modifiant un peu :
chercher les triangles (a ; b ; c) en mesures entières tels que l’entier a soit encadré par b = a-1 et c = a +1.
EB = ab/(b+c) = b/2. De même EC = c/2. Donc b et c sont des nombres pairs.
(a ; b ; c) = (2p +1 ; 2p ; 2p+2).
AE² = AB x AC – EB x EC = 3p(p+1).
Il faut donc rechercher p tel que 3p(p+1) soit un carré entier.
Dans le cas particulier (7 ; 6 ; 8), p = 3, et AE² = 36.
Sauf erreur de ma part, on trouve le suivant pour p = 48.
Dans ce cas (a ; b ; c) = (97 ; 96 ; 98) ; EB = 48 ; EC = 49 et AE = 84.

fm_31 · June 2021

Je trouve aussi p=48 et le prochain carré entier est pour p = 675
D'autres triangles pour d'autres valeurs de n 124314

Léon Claude Joseph · June 2021

Merci fm_31. Je vois que tu as quelques notions de programmation, ce qui me manque.
Dans le même ordre d’idée pourrais-tu faire une liste de triangles ABC en nombres entiers (a, b, c) présentant en B un angle de 60° ou de 120°.
Par exemple (8 ; 7 ; 5) et (8 ; 7 ; 3) pour qui l’angle en B est 60°, et (7 ; 5 ; 3) pour qui l’angle en B est de 120°, que j’ai représentés sur une même figure. 124360