Triangles particuliers à rechercher
Triangles particuliers.
Si (a, b, c) = (7 ; 6 ; 8), la bissectrice AE a pour mesure 6, EB = 4 et EC = 3.
Je lance un avis de recherche pour trouver d’autres triangles en nombres entiers, ayant une bissectrice de mesure entière et découpant sur son côté des segments de mesures entières.
Merci.
Si (a, b, c) = (7 ; 6 ; 8), la bissectrice AE a pour mesure 6, EB = 4 et EC = 3.
Je lance un avis de recherche pour trouver d’autres triangles en nombres entiers, ayant une bissectrice de mesure entière et découpant sur son côté des segments de mesures entières.
Merci.
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Réponses
Il me semble que la difficulté réside dans le fait d'exiger que la longueur de la bissectrice soit entière : en effet, il est facile de prendre un entier qui a suffisamment de diviseurs entiers pour définir les côtés adjacents à l'angle considéré et les segments découpés par la bissectrice sur le troisième côté, entre lesquels il existe une proportionnalité.
Par exemple, on a 30 = 3x10 = 6x5 : dans un triangle (rectangle) de côtés 6, 8 et 10, le côté de longueur 8 est divisé par la bissectrice de l'angle opposé en deux segments de longueurs 3 et 5. Mais la bissectrice a pour longueur 3(racine de 5) ... ce qui me semble d'ailleurs assez curieux pour être noté !
Il faut donc, à partir de l'expression (assez compliquée) de la longueur d'une bissectrice en fonction des côtés, chercher les solutions entières d'un système d'équations du second degré ...
Cette démarche vous semble-t-elle praticable ?
fm_31, les éléments que tu donnes vérifient-ils cette expression de la longueur d'une bissectrice ?
Bien cordialement
JLB
Pour rappel, une bissectrice n'a pas de longueur.
Par contre, le segment s'appuyant dessus et intérieur au triangle en a une.
À bientôt.
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Je ne connaissais pas cette propriété.
Appliquée au triangle a=6 et n=2 (6,8,10) qui est rectangle donne bien $3 \sqrt{5}$ pour la longueur de la bissectrice
En fait, c'est plus simple que ce que je pensais : les relations classiques x.y=bc-l2 et x+y=a où x et y désignent les longueurs des segments découpés sur BC par la bissectrice de l'angle en A, et l la longueur du segment de bissectrice AD, D étant sur BC, montrent que x et y sont les racines d'une équation du second degré, à coefficients entiers dans notre cas. Il s'agit donc de voir quelles relations entre ces coefficients font que ces racines sont entières ...
Merci à LCJ d'avoir posé cette question qui m'a permis de découvrir quelques petites choses simples que j'ignorais ...
Bien cordialement
JLB
bissectrice = 84
côté 97 partagé en (48+ 49)
et encore triangle (50, 52, 54)
bissectrice = 45
côté 52 partagé en (25+ 27)
En introduisant l'expression de l2, bc(1 - a2/(b+c)2), dans le système d'équations indiqué dans mon précédent message, j'aboutis, pour les longueurs des segments découpés sur BC par la bissectrice de l'angle en A, aux expressions suivantes en fonction des longueurs respectives a, b et c des côtés BC, AC et AB :
x = ab/(b+c), y = ac/(b+c).
Si l'on pose a = d+n, b = d+2n, et c = d, on retrouve les expressions indiquées sur la figure de fm_31.
Mais est-ce la seule possibilité ?
D'autre part, je trouve pour l2 l'expression 3d(d+2n)/4 : pour que l soit entier, il faut que 3d(d+2n) soit le carré d'un nombre pair, donc , au moins, que d soit pair et que d ou d+2n soit divisible par une puissance impaire de 3 (3, 27, 243, ...).
Avec d = 50, n = 2 : l2 = 3.50.54/4 = 2025 = 452
Mais ce n'est pas suffisant : avec d = 6 et n = 2, l2 = 180/4 = 45 n'est pas un carré parfait ...
Bien cordialement
JLB
chercher les triangles (a ; b ; c) en mesures entières tels que l’entier a soit encadré par b = a-1 et c = a +1.
EB = ab/(b+c) = b/2. De même EC = c/2. Donc b et c sont des nombres pairs.
(a ; b ; c) = (2p +1 ; 2p ; 2p+2).
AE² = AB x AC – EB x EC = 3p(p+1).
Il faut donc rechercher p tel que 3p(p+1) soit un carré entier.
Dans le cas particulier (7 ; 6 ; 8), p = 3, et AE² = 36.
Sauf erreur de ma part, on trouve le suivant pour p = 48.
Dans ce cas (a ; b ; c) = (97 ; 96 ; 98) ; EB = 48 ; EC = 49 et AE = 84.
D'autres triangles pour d'autres valeurs de n
Dans le même ordre d’idée pourrais-tu faire une liste de triangles ABC en nombres entiers (a, b, c) présentant en B un angle de 60° ou de 120°.
Par exemple (8 ; 7 ; 5) et (8 ; 7 ; 3) pour qui l’angle en B est 60°, et (7 ; 5 ; 3) pour qui l’angle en B est de 120°, que j’ai représentés sur une même figure.
J'ai marqué les triangles semblables à la main et j'ai dû en oublier quelques uns comme 21 56 49 .
Merci fm_31.