Pentagone et quadrilatères cycliques
dans Géométrie
Bon dimanche à tous !
Je vous prie d'emblée de m'excuser si je me lance dans des sentiers archi-battus et ne fais que ramener des vieilleries à la lumière ...
Si je considère un triangle non isocèle $ABC$, j'appelle "points de sortie des médiatrices" (y a-t-il une appellation "contrôlée" pour ces points ?), les points d'intersection $D$, $E$ et $F$ où les médiatrices respectives de $BC$, $CA$ et $AB$ "sortent" du triangle, si l'on admet qu'elles y "entrent" par le milieu du côté respectif.
Ces points se répartissent ainsi : il y en a deux sur le plus grand des côtés, et un sur le côté médian.
Mais on peut voir qu'ils se répartissent aussi en 2-1-0 sur les trois cercles qui passent par le centre $O$ du cercle circonscrit à $ABC$ et deux des sommets de $ABC$, ce qui donne les pentagone et quadrilatère cycliques de mon sujet.
Comment expliquez-vous l'apparition de ces deux polygones ? Et comment s'expliquent les égalités d'angles indiquées sur la figure jointe ?
Merci de votre intérêt et de vos lumières !
Bien cordialement
JLB
Je vous prie d'emblée de m'excuser si je me lance dans des sentiers archi-battus et ne fais que ramener des vieilleries à la lumière ...
Si je considère un triangle non isocèle $ABC$, j'appelle "points de sortie des médiatrices" (y a-t-il une appellation "contrôlée" pour ces points ?), les points d'intersection $D$, $E$ et $F$ où les médiatrices respectives de $BC$, $CA$ et $AB$ "sortent" du triangle, si l'on admet qu'elles y "entrent" par le milieu du côté respectif.
Ces points se répartissent ainsi : il y en a deux sur le plus grand des côtés, et un sur le côté médian.
Mais on peut voir qu'ils se répartissent aussi en 2-1-0 sur les trois cercles qui passent par le centre $O$ du cercle circonscrit à $ABC$ et deux des sommets de $ABC$, ce qui donne les pentagone et quadrilatère cycliques de mon sujet.
Comment expliquez-vous l'apparition de ces deux polygones ? Et comment s'expliquent les égalités d'angles indiquées sur la figure jointe ?
Merci de votre intérêt et de vos lumières !
Bien cordialement
JLB
Réponses
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Bonjour,
premières idées...
1. O orthocentre de DEC
2. la tangente à (O) en C est parallèle à (DE)
3. d'après le théorème de Reim, ADEB est cyclique
4. l'égalité angulaire suit...
Sincèrement
Jean-Louis -
Merci, Jean-Louis, de votre intérêt pour mes questions !
N'avez-vous rien sur votre site qui ait trait à ces trois points particuliers ? N'y a-t-il vraiment personne qui s'y soit peu ou prou intéressé, ou n'a-t-on rien trouvé à leur sujet qui vaille l'encre d'un articulet ?
Peut-être leur seul aspect intéressant est-il d'être en relation avec les cercles circonscrits aux triangles AOB, BOC et COA ? Et qu'en est-il de ces trois cercles ?
Bien cordialement
JLB -
Bonjour Jean-Louis,
pour les (AOB)...ils conduisent au point de Kosnitza
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol26.html
le cercle (ADEB) passe par O car le triangle ODC est O-isocèle
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol79.html réciproque du Problème 8 cas 1 ou 2
Sincèrement
Jean-Louis -
Merci Jean-Louis !
Je vais regarder tout ça assez vite ...
Bien cordialement
JLB
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Bonjour!
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