Pentagone et quadrilatères cycliques

Bon dimanche à tous !
Je vous prie d'emblée de m'excuser si je me lance dans des sentiers archi-battus et ne fais que ramener des vieilleries à la lumière ...
Si je considère un triangle non isocèle $ABC$, j'appelle "points de sortie des médiatrices" (y a-t-il une appellation "contrôlée" pour ces points ?), les points d'intersection $D$, $E$ et $F$ où les médiatrices respectives de $BC$, $CA$ et $AB$ "sortent" du triangle, si l'on admet qu'elles y "entrent" par le milieu du côté respectif.
Ces points se répartissent ainsi : il y en a deux sur le plus grand des côtés, et un sur le côté médian.
Mais on peut voir qu'ils se répartissent aussi en 2-1-0 sur les trois cercles qui passent par le centre $O$ du cercle circonscrit à $ABC$ et deux des sommets de $ABC$, ce qui donne les pentagone et quadrilatère cycliques de mon sujet.
Comment expliquez-vous l'apparition de ces deux polygones ? Et comment s'expliquent les égalités d'angles indiquées sur la figure jointe ?
Merci de votre intérêt et de vos lumières !
Bien cordialement
JLB