Triangle inscrit dans un rectangle
Bonjour à tous
Une question naïve que je me suis posée à propos d’un exercice.
On considère un triangle à l’intérieur (au sens large) d’un rectangle.
Peut-on toujours insérer ce triangle dans un rectangle plus petit que le précédent (pour l’inclusion et toujours au sens large), de façon à ce que deux sommets du triangle soient aussi des sommets de ce rectangle ?
La réponse est certainement oui mais la raison m’échappe.
Merci d’avance pour vos réactions :-)
Domi.
Une question naïve que je me suis posée à propos d’un exercice.
On considère un triangle à l’intérieur (au sens large) d’un rectangle.
Peut-on toujours insérer ce triangle dans un rectangle plus petit que le précédent (pour l’inclusion et toujours au sens large), de façon à ce que deux sommets du triangle soient aussi des sommets de ce rectangle ?
La réponse est certainement oui mais la raison m’échappe.
Merci d’avance pour vos réactions :-)
Domi.
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Réponses
Peux-tu nous faire une figure?
Cela rassure toujours d'avoir une figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus
ne suffit-il pas de construire un rectangle de base le plus long des côtés du triangle et de hauteur celle correspondant à cette base ? (Les angles issus de la base sont aigus)
Cordialement
Toujours pas la moindre figure!
On pédale dans la semoule!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je ne savais pas comment illustrer mais la question de Mathurin me fournit une opportunité :-)
Le triangle jaune est donné dans le rectangle bleu . Il faut prouver l'existence d'un rectangle rouge plus petit que le bleu partageant deux sommets avec le triangle .
Domi
Domi
Le rectangle construit sur le plus grand côté du triangle, tel que dit plus haut, peut toujours être construit.
Il répond toujours à la question (les angles de la base du triangle sont inférieurs à un droit, car il s'agit du plus grand côté).
Merci de me dire où est le problème ?
Cordialement
Domi
On peut construire trois rectangles construits sur chacune des trois hauteurs et ayant pour sommets deux sommets du triangle. L'un de ces rectangles au moins doit être inclus dans le rectangle bleu initial.
Bon, il n'y a plus qu'à démontrer X:-(
Cordialement
Domi
Dans l'exercice , le triangle n'est pas quelconque mais pas nécessairement rectangle . En fait il peut prendre toutes les formes mais une seule taille pour chaque forme .
Le plus simple est encore de donner l'exercice .
Un triangle est équilibré si son périmètre est égal à son aire .Quel est le plus grand triangle équilibré que l'on peut inscrire dans un rectangle donné ?
La question va certainement hérisser le poil à beaucoup mais ce n'est pas grave . Disons que l'on cherche par exemple à construire un triangle d'aire maximale dans un rectangle 8 cm X 5 cm de façon à ce que son périmètre en cm et son aire en cm² soit mesurés par le même nombre .
La question ne se résume donc pas à considérer des triangles dont l'un des côtés est la diagonale ou la longueur du rectangle .
Domi
Si jamais le problème comme dans le titre est peut-être connu, il y a quelque résultats en Anglais quand même -inégalité etc- pour dire quand un triangle (ou rectangle) pourrait être inclu dans un rectangle donné. Un lien https://www.jstor.org/stable/25678153?seq=1
Edit j'ai (mal) pris un triangle avec une base numérique, le périmètre change d'un facteur $k$ et l'aire de facteur $k^2$.
On montre facilement qu'un triangle est équilibré si le rayon de son cercle inscrit est $2$ , il en existe donc un gros paquet . On peut même dire que pour chaque forme de triangle , il existe un unique représentant équilibré . D'un autre côté il est clair que certains rectangles ne pouront pas accueillir de tels candidats , à commencer par ceux dont la largeur est inférieure à $4$ :-)
Domi