Hécatonicosachore

superpower
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dans Géométrie
Bonjour
Si on plonge le dodécaèdre en dim 4 dans la sphère des quaternions est-ce que cela fait un sous-groupe ?
Merci d’avance.

Réponses

  • Guego
    Guego
    Ça dépend. Comment plonges-tu le dodécaèdre dans la sphère des quaternions ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Que veut dire la question ?
    C'est quoi, la sphère des quaternions ? Le groupe multiplicatif des quaternions de norme 1 ? C'est une sphère de dimension 3, comment y plonges-tu le dodécaèdre ?
  • superpower
    superpower
    En mettant un point sur $1$
    Je parlais du dodécaèdre de dimension 4 le Hécatonicosachore
  • Math Coss
    Math Coss
    C'est bien un sous-groupe, à savoir l'image réciproque du groupe des isométries d'un icosaèdre régulier par « le » morphisme $\mathrm{SU}_2(\C)\to\mathrm{SO}_3(\R)$. Il est isomorphe à $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_5)$.
  • superpower
    superpower
    Ok merci
    Du coup il y a une généralisation de la propriété qui dit qu’un sous-groupe fini [du] groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique au cas non commutatif ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour

    En clair, tu cherches les sous-groupes finis du groupe multiplicatif des quaternions et tu aimerais bien qu'ils soient cycliques ? Je ne sais pas.

    Cordialement,
    Rescassol
  • marsup
    marsup
    (Si on ne parle pas du tout du dodécaèdre, mais de l'Hécatonicosachore, ne faudrait-il pas changer le titre du fil ?)
  • Guego
    Guego
    Du coup il y a une generalisation de la propriété qui dit qu’un sousgroupe fini groupe multiplicatif d’un corps commutatif est cyclique au cas non commutatif ?

    Je ne vois pas ce que tu entends par "généralisation", mais s'il s'agit de dire qu'ils sont tous cycliques, alors c'est faux, comme le montre l'explication de Math Coss : le groupe (multiplicatif) des quaternions non nuls a un sous-groupe isomorphe à $SL_2(\mathbb{F}_5)$.
  • superpower
    superpower
    Nonon généralisation de ce résultat mais en enlevant cyclique pour le cas non commutatif.
    Donc ça serait des groupes finis qui vérifient autre chose que vérifient les sous-groupes des sommets des polytopes réguliers en dimension 4.
  • superpower
    superpower
    Pour info j’ai trouvé sur un document où il y a l’analogue du dodécaèdre mais p-adique
    C’est là
  • superpower
    superpower
    Peut-être la propriété demandée est que le groupe vérifie qu’il soit fini et que ses sous-groupes commutatifs soient cycliques de même ordre.
    Du coup c’est peut-être un produit semi-direct avec le groupe cyclique, est-ce le cas pour $SL_2(\mathbb F_5)$ ?
    Vous en pensez quoi ?
    Merci d’avance.
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