Deux triangles équilatéraux

Bonjour ,
j'ai remarqué un angle qui semble droit mais n'arrive pas à m'en servir pour la construction .
Peut être en résolvant quelques équations ?
Cordialement

Mon cher Ludwig
J'aurais bien aimé voir tes calculs même s'il ne s'agit jamais que d'intersections de cercles comme tu le dis si bien
On est donc bien obligé de te croire sur parole pour la valeur du résultat que tu as trouvée.
Je vais te dire la méthode que j'ai suivie pour calculer cette maudite longueur.
J'ai évalué de deux façons différentes la longueur $AD$ en me servant des deux formules de [large]ce message[/large].
Mais pris subitement d'une flemme monumentale due à mon grand âge, je n'ai pas le courage de résoudre l'équation que j'ai trouvée:
$$S(1,2,x)+S(3,4,x)=\dfrac 5{\sqrt 3};
\qquad$$ Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Ludwig
Oui, la notation $S(a,b,c)$ désigne l'aire du triangle de côtés $(a,b,c)$.
Examine la figure initiale que je suis bien en peine de reproduire pour le moment.
J'adopte les notations de fm_31 dans [large]ce message[/large]
Le triangle $ABC$ est le triangle de Napoléon externe construit sur le coté $BC$ du triangle $DBC$ de côtés $(1,2,x)$
Donc $AD^2$ est donné par la formule:
$$AD^2=\dfrac{1^2+2^2+x^2+4S(1,2,x)\sqrt 3}2$$
De même le triangle $DEF$ est le triangle de Napoléon interne construit sur le côté $EF$ du triangle $AEF$. de côtés $(3,4,x)$.
Donc $AD^2$ est donné par la formule:
$$AD^2=\dfrac{3^2+4^2+x^2-4S(3,4,x)\sqrt 3}2$$
En égalant les deux valeurs de $AD^2$, on tombe sur l'équation que j'ai écrite.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il ne reste plus qu'à espérer qu'on retrouve ta solution!
La méthode de kolokoto devrait faire plaisir à Soland très friand des déterminants de Cayley-Menger

La fin de la construction se simplifie si on s'appuie sur la constatation que les milieux des segments 1 , 2 , 3 et 4 sont cocycliques sur un cercle centré au milieu de AD

Le cercle de diamètre AF est en réalité un cercle de centre M et de rayon 3/2 . il sert à construire les points A et F . Le fait qu'il ne passe pas par le milieu de CD n'a aucune importance . J'aurais dû ne tracer que la partie inférieur .
Voir détail de la construction dans fichier .ggb joint

question :
les points milieux déterminent-ils un trapèze?

Sincèrement
Jean-Louis

Bonjour Ludwig,
pour aller plus loin (si nous avons bien un trapèze isocèle avec un axe de symétrie), je fais le lien avec le principe de Curie
que l'ai un peu développé

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol30.html le cercle de Puissant p. 13...

Aux symétries brisées que nous rencontrons à l'extérieur ne sont que le reflet brisé de symétries intérieures...

Sincèrement
Jean-Louis

Bonjour,

il me semble bien qu'il existe la solution obtenue en changeant le signe - de la valeur donnée par Ludwig en le signe + ; je dis ça parce que l'équation 3x² -27x + 49 = 0 a deux solutions.

En ce cas le côté c des triangles équilatéraux vaut 2,54539986 et la distance d vaut 1,587747771 et on a toujours CD = 2; BD = 1; AE = 4; AF = 3 comme dans la première figure de fm_31.

Le point D est situé à l'intérieur du triangle ABC.

Si Ludwig pouvait confirmer cela en joignant la figure.

Bien cordialement.

kolotoko