Transformations de Möbius

Bonsoir,

L'expression complexe de $f$ avec Morley circonscrit est $f(z)=\dfrac{(bc-a(b+c))z\overline{z} - s_3a\overline{z}^2 + az + s_2a\overline{z} - (a^2+bc)}{(a\overline{z} - 1)(b + c - z - bc\overline{z})}$
Quand on transforme en coordonnées cartésiennes , on obtient des quotients de polynômes en $x$ et $y$ de degré $4$ dont voici les coefficients assez imbitables.
Chaque ligne corronspond à un coefficient, et il sont dans l'ordre des puissances suivant:
$[x^4, x^3y, x^3, x^2y^2, x^2y, x^2, xy^3, xy^2, xy, x, y^4, y^3, y^2, y, 1]$
Enfin, les points $A(xa;ya),B(xb;yb),C(xc;yc)$ sont supposés être sur le cercle unitaire.

Coefficients_Numérateur_X =

xa^3*xb^2*xc^2 + xa^3*xb^2*yc^2 + xa^3*xb*xc + xa^3*xc^2*yb^2 + xa^3*yb^2*yc^2 - xa^3*yb*yc + xa^2*xb^2*xc + xa^2*xb*xc^2 - xa^2*xb*ya*yc + xa^2*xb*yc^2 + xa^2*xb - xa^2*xc*ya*yb + xa^2*xc*yb^2 + xa^2*xc + xa*xb^2*xc^2*ya^2 - xa*xb^2*xc^2 + xa*xb^2*ya^2*yc^2 - xa*xb^2*yc^2 + xa*xb*xc*ya^2 - xa*xb*xc + xa*xc^2*ya^2*yb^2 - xa*xc^2*yb^2 + xa*ya^2*yb^2*yc^2 - xa*ya^2*yb*yc - xa*yb^2*yc^2 + xa*yb*yc + xb^2*xc*ya^2 + xb*xc^2*ya^2 - xb*ya^3*yc + xb*ya^2*yc^2 + xb*ya^2 - xb*ya*yc - xc*ya^3*yb + xc*ya^2*yb^2 + xc*ya^2 - xc*ya*yb
2*xa^3*xb*yc + 2*xa^3*xc*yb + 2*xa^2*xb^2*yc + 2*xa^2*xb*xc*ya + 2*xa^2*xc^2*yb - 2*xa^2*ya*yb*yc + 2*xa^2*yb^2*yc + 2*xa^2*yb*yc^2 + 2*xa*xb*ya^2*yc + 2*xa*xc*ya^2*yb - 2*xb^2*xc^2*ya + 2*xb^2*ya^2*yc - 2*xb^2*ya*yc^2 + 2*xb*xc*ya^3 + 2*xc^2*ya^2*yb - 2*xc^2*ya*yb^2 - 2*ya^3*yb*yc + 2*ya^2*yb^2*yc + 2*ya^2*yb*yc^2 - 2*ya*yb^2*yc^2
- 2*xa^3*xb^2*xc - 2*xa^3*xb*xc^2 - 2*xa^3*xb*yc^2 - xa^3*xb - 2*xa^3*xc*yb^2 - xa^3*xc - 2*xa^2*xb^2*xc^2 - 2*xa^2*xb^2*yc^2 - xa^2*xb^2 - 5*xa^2*xb*xc - 2*xa^2*xc^2*yb^2 - xa^2*xc^2 + xa^2*ya*yb + xa^2*ya*yc - 2*xa^2*yb^2*yc^2 - xa^2*yb^2 + xa^2*yb*yc - xa^2*yc^2 - xa^2 - 2*xa*xb^2*xc*ya^2 - 2*xa*xb*xc^2*ya^2 - 2*xa*xb*ya^2*yc^2 - xa*xb*ya^2 + 2*xa*xb*ya*yc - xa*xb - 2*xa*xc*ya^2*yb^2 - xa*xc*ya^2 + 2*xa*xc*ya*yb - xa*xc + xb^2*xc^2 - xb^2*ya^2 + xb^2*yc^2 - 3*xb*xc*ya^2 + xb*xc - xc^2*ya^2 + xc^2*yb^2 + ya^3*yb + ya^3*yc - ya^2*yb^2 - ya^2*yb*yc - ya^2*yc^2 - ya^2 + ya*yb + ya*yc + yb^2*yc^2 - yb*yc
2*xa^3*xb^2*xc^2 + 2*xa^3*xb^2*yc^2 + 2*xa^3*xc^2*yb^2 + 2*xa^3*yb^2*yc^2 + 2*xa^2*xb + 2*xa^2*xc + 2*xa*xb^2*xc^2*ya^2 + 2*xa*xb^2*ya^2*yc^2 - 2*xa*xb*xc + 2*xa*xc^2*ya^2*yb^2 + 2*xa*ya^2*yb^2*yc^2 + 2*xa*yb*yc + 2*xb*ya^2 - 2*xb*ya*yc + 2*xc*ya^2 - 2*xc*ya*yb
- 2*xa^3*xb^2*yc - 2*xa^3*xc^2*yb - 2*xa^3*yb^2*yc - 2*xa^3*yb*yc^2 - xa^3*yb - xa^3*yc - xa^2*xb*ya - 7*xa^2*xb*yc - xa^2*xc*ya - 7*xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*xc^2*ya - 2*xa*xb^2*ya^2*yc - 2*xa*xb^2*ya*yc^2 - 2*xa*xb^2*yc - 6*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya^2*yb - 2*xa*xc^2*ya*yb^2 - 2*xa*xc^2*yb - 2*xa*ya^2*yb^2*yc - 2*xa*ya^2*yb*yc^2 - xa*ya^2*yb - xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2*yc^2 + 6*xa*ya*yb*yc - 2*xa*yb^2*yc - 2*xa*yb*yc^2 - xa*yb - xa*yc + 2*xb^2*xc*ya + 2*xb*xc^2*ya - xb*ya^3 - xb*ya^2*yc + 2*xb*ya*yc^2 - xb*ya + xb*yc - xc*ya^3 - xc*ya^2*yb + 2*xc*ya*yb^2 - xc*ya + xc*yb
xa^3*xb^2 + 3*xa^3*xb*xc + xa^3*xc^2 + xa^3*yb^2 + xa^3*yb*yc + xa^3*yc^2 + xa^3 + 3*xa^2*xb^2*xc + 3*xa^2*xb*xc^2 + xa^2*xb*ya*yc + 3*xa^2*xb*yc^2 + 2*xa^2*xb + xa^2*xc*ya*yb + 3*xa^2*xc*yb^2 + 2*xa^2*xc + 2*xa*xb^2*xc^2 + xa*xb^2*ya^2 + 2*xa*xb^2*yc^2 + xa*xb^2 + 3*xa*xb*xc*ya^2 + 5*xa*xb*xc + xa*xc^2*ya^2 + 2*xa*xc^2*yb^2 + xa*xc^2 + xa*ya^2*yb^2 + xa*ya^2*yb*yc + xa*ya^2*yc^2 + xa*ya^2 - 2*xa*ya*yb - 2*xa*ya*yc + 2*xa*yb^2*yc^2 + xa*yb^2 - xa*yb*yc + xa*yc^2 + xa - xb^2*xc*ya^2 - xb^2*xc - xb*xc^2*ya^2 - xb*xc^2 + xb*ya^3*yc - xb*ya^2*yc^2 + xb*ya*yc - xb*yc^2 + xc*ya^3*yb - xc*ya^2*yb^2 + xc*ya*yb - xc*yb^2
2*xa^3*xb*yc + 2*xa^3*xc*yb + 2*xa^2*xb^2*yc + 2*xa^2*xb*xc*ya + 2*xa^2*xc^2*yb - 2*xa^2*ya*yb*yc + 2*xa^2*yb^2*yc + 2*xa^2*yb*yc^2 + 2*xa*xb*ya^2*yc + 2*xa*xc*ya^2*yb - 2*xb^2*xc^2*ya + 2*xb^2*ya^2*yc - 2*xb^2*ya*yc^2 + 2*xb*xc*ya^3 + 2*xc^2*ya^2*yb - 2*xc^2*ya*yb^2 - 2*ya^3*yb*yc + 2*ya^2*yb^2*yc + 2*ya^2*yb*yc^2 - 2*ya*yb^2*yc^2
- 2*xa^3*xb^2*xc - 2*xa^3*xb*xc^2 - 2*xa^3*xb*yc^2 - xa^3*xb - 2*xa^3*xc*yb^2 - xa^3*xc - 2*xa^2*xb^2*xc^2 - 2*xa^2*xb^2*yc^2 - xa^2*xb^2 + 3*xa^2*xb*xc - 2*xa^2*xc^2*yb^2 - xa^2*xc^2 + xa^2*ya*yb + xa^2*ya*yc - 2*xa^2*yb^2*yc^2 - xa^2*yb^2 - 7*xa^2*yb*yc - xa^2*yc^2 - xa^2 - 2*xa*xb^2*xc*ya^2 - 2*xa*xb*xc^2*ya^2 - 2*xa*xb*ya^2*yc^2 - xa*xb*ya^2 - 6*xa*xb*ya*yc - xa*xb - 2*xa*xc*ya^2*yb^2 - xa*xc*ya^2 - 6*xa*xc*ya*yb - xa*xc + xb^2*xc^2 - xb^2*ya^2 + xb^2*yc^2 - 3*xb*xc*ya^2 + xb*xc - xc^2*ya^2 + xc^2*yb^2 + ya^3*yb + ya^3*yc - ya^2*yb^2 - ya^2*yb*yc - ya^2*yc^2 - ya^2 + ya*yb + ya*yc + yb^2*yc^2 - yb*yc
2*xa^3*xb*yc + 2*xa^3*xc*yb + 2*xa^2*xb^2*yc - 2*xa^2*xb*xc*ya + 2*xa^2*xc^2*yb + 2*xa^2*ya*yb*yc + 2*xa^2*yb^2*yc + 2*xa^2*yb*yc^2 + 4*xa^2*yb + 4*xa^2*yc + 4*xa*xb^2*xc*ya + 4*xa*xb*xc^2*ya + 2*xa*xb*ya^2*yc + 4*xa*xb*ya*yc^2 + 4*xa*xb*ya + 4*xa*xb*yc + 2*xa*xc*ya^2*yb + 4*xa*xc*ya*yb^2 + 4*xa*xc*ya + 4*xa*xc*yb + 2*xb^2*xc^2*ya - 2*xb^2*ya^2*yc + 2*xb^2*ya*yc^2 - 2*xb*xc*ya^3 - 2*xc^2*ya^2*yb + 2*xc^2*ya*yb^2 + 2*ya^3*yb*yc - 2*ya^2*yb^2*yc - 2*ya^2*yb*yc^2 + 2*ya*yb^2*yc^2
- xa^3*xb - xa^3*xc - xa^2*xb^2 - 3*xa^2*xb*xc - xa^2*xc^2 - xa^2*ya*yb - xa^2*ya*yc - xa^2*yb^2 - xa^2*yb*yc - xa^2*yc^2 - xa^2 - 2*xa*xb^2*xc - 2*xa*xb*xc^2 - xa*xb*ya^2 - 2*xa*xb*ya*yc - 2*xa*xb*yc^2 - xa*xb - xa*xc*ya^2 - 2*xa*xc*ya*yb - 2*xa*xc*yb^2 - xa*xc - xb^2*xc^2 + xb^2*ya^2 - xb^2*yc^2 + 3*xb*xc*ya^2 - xb*xc + xc^2*ya^2 - xc^2*yb^2 - ya^3*yb - ya^3*yc + ya^2*yb^2 + ya^2*yb*yc + ya^2*yc^2 + ya^2 - ya*yb - ya*yc - yb^2*yc^2 + yb*yc
xa^3*xb^2*xc^2 + xa^3*xb^2*yc^2 - xa^3*xb*xc + xa^3*xc^2*yb^2 + xa^3*yb^2*yc^2 + xa^3*yb*yc - xa^2*xb^2*xc - xa^2*xb*xc^2 + xa^2*xb*ya*yc - xa^2*xb*yc^2 + xa^2*xb + xa^2*xc*ya*yb - xa^2*xc*yb^2 + xa^2*xc + xa*xb^2*xc^2*ya^2 + xa*xb^2*xc^2 + xa*xb^2*ya^2*yc^2 + xa*xb^2*yc^2 - xa*xb*xc*ya^2 - xa*xb*xc + xa*xc^2*ya^2*yb^2 + xa*xc^2*yb^2 + xa*ya^2*yb^2*yc^2 + xa*ya^2*yb*yc + xa*yb^2*yc^2 + xa*yb*yc - xb^2*xc*ya^2 - xb*xc^2*ya^2 + xb*ya^3*yc - xb*ya^2*yc^2 + xb*ya^2 - xb*ya*yc + xc*ya^3*yb - xc*ya^2*yb^2 + xc*ya^2 - xc*ya*yb
- 2*xa^3*xb^2*yc - 2*xa^3*xc^2*yb - 2*xa^3*yb^2*yc - 2*xa^3*yb*yc^2 - xa^3*yb - xa^3*yc - xa^2*xb*ya + xa^2*xb*yc - xa^2*xc*ya + xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*xc^2*ya - 2*xa*xb^2*ya^2*yc - 2*xa*xb^2*ya*yc^2 - 2*xa*xb^2*yc + 2*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya^2*yb - 2*xa*xc^2*ya*yb^2 - 2*xa*xc^2*yb - 2*xa*ya^2*yb^2*yc - 2*xa*ya^2*yb*yc^2 - xa*ya^2*yb - xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2*yc^2 - 2*xa*ya*yb*yc - 2*xa*yb^2*yc - 2*xa*yb*yc^2 - xa*yb - xa*yc + 2*xb^2*xc*ya + 2*xb*xc^2*ya - xb*ya^3 - xb*ya^2*yc + 2*xb*ya*yc^2 - xb*ya + xb*yc - xc*ya^3 - xc*ya^2*yb + 2*xc*ya*yb^2 - xc*ya + xc*yb
xa^3*xb^2 + xa^3*xb*xc + xa^3*xc^2 + xa^3*yb^2 + 3*xa^3*yb*yc + xa^3*yc^2 + xa^3 + xa^2*xb^2*xc + xa^2*xb*xc^2 - xa^2*xb*ya*yc + xa^2*xb*yc^2 - 2*xa^2*xb - xa^2*xc*ya*yb + xa^2*xc*yb^2 - 2*xa^2*xc + xa*xb^2*ya^2 + 4*xa*xb^2*ya*yc + xa*xb^2 + xa*xb*xc*ya^2 + xa*xb*xc + xa*xc^2*ya^2 + 4*xa*xc^2*ya*yb + xa*xc^2 + xa*ya^2*yb^2 + 3*xa*ya^2*yb*yc + xa*ya^2*yc^2 + xa*ya^2 + 4*xa*ya*yb^2*yc + 4*xa*ya*yb*yc^2 + 2*xa*ya*yb + 2*xa*ya*yc + xa*yb^2 + 3*xa*yb*yc + xa*yc^2 + xa + xb^2*xc*ya^2 - xb^2*xc + xb*xc^2*ya^2 - xb*xc^2 - xb*ya^3*yc + xb*ya^2*yc^2 + xb*ya*yc - xb*yc^2 - xc*ya^3*yb + xc*ya^2*yb^2 + xc*ya*yb - xc*yb^2
- xa^3*yb - xa^3*yc + xa^2*xb*ya - xa^2*xb*yc + xa^2*xc*ya - xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*ya - 2*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya - xa*ya^2*yb - xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2 - 6*xa*ya*yb*yc - 2*xa*ya*yc^2 - 2*xa*ya - xa*yb - xa*yc - 2*xb^2*xc*ya - 2*xb*xc^2*ya + xb*ya^3 + xb*ya^2*yc - 2*xb*ya*yc^2 + xb*ya - xb*yc + xc*ya^3 + xc*ya^2*yb - 2*xc*ya*yb^2 + xc*ya - xc*yb
xa^2*xb + xa^2*xc + 2*xa*ya*yb + 2*xa*ya*yc + xb^2*xc + xb*xc^2 - xb*ya^2 + xb*yc^2 - xc*ya^2 + xc*yb^2

Coefficients_Numérateur_Y =

xa^3*xb*yc + xa^3*xc*yb + xa^2*xb^2*xc^2*ya + xa^2*xb^2*ya*yc^2 - xa^2*xb^2*yc + xa^2*xb*xc*ya + xa^2*xc^2*ya*yb^2 - xa^2*xc^2*yb + xa^2*ya*yb^2*yc^2 - xa^2*ya*yb*yc - xa^2*yb^2*yc - xa^2*yb*yc^2 + xa^2*yb + xa^2*yc + xa*xb*ya^2*yc - xa*xb*yc + xa*xc*ya^2*yb - xa*xc*yb + xb^2*xc^2*ya^3 + xb^2*xc^2*ya + xb^2*ya^3*yc^2 - xb^2*ya^2*yc + xb^2*ya*yc^2 + xb*xc*ya^3 + xb*xc*ya + xc^2*ya^3*yb^2 - xc^2*ya^2*yb + xc^2*ya*yb^2 + ya^3*yb^2*yc^2 - ya^3*yb*yc - ya^2*yb^2*yc - ya^2*yb*yc^2 + ya^2*yb + ya^2*yc + ya*yb^2*yc^2 - ya*yb*yc
- 2*xa^3*xb*xc + 2*xa^3*yb*yc + 2*xa^2*xb^2*xc + 2*xa^2*xb*xc^2 + 2*xa^2*xb*ya*yc + 2*xa^2*xb*yc^2 + 2*xa^2*xc*ya*yb + 2*xa^2*xc*yb^2 - 2*xa*xb^2*xc^2 - 2*xa*xb^2*yc^2 - 2*xa*xb*xc*ya^2 - 2*xa*xc^2*yb^2 + 2*xa*ya^2*yb*yc - 2*xa*yb^2*yc^2 + 2*xb^2*xc*ya^2 + 2*xb*xc^2*ya^2 + 2*xb*ya^3*yc + 2*xb*ya^2*yc^2 + 2*xc*ya^3*yb + 2*xc*ya^2*yb^2
- xa^3*yb - xa^3*yc - 2*xa^2*xb^2*xc*ya - 2*xa^2*xb*xc^2*ya - 2*xa^2*xb*ya*yc^2 - xa^2*xb*ya - xa^2*xb*yc - 2*xa^2*xc*ya*yb^2 - xa^2*xc*ya - xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*xc^2*ya - 2*xa*xb^2*ya*yc^2 + 2*xa*xb^2*yc - 2*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya*yb^2 + 2*xa*xc^2*yb - xa*ya^2*yb - xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2*yc^2 + 2*xa*ya*yb*yc + 2*xa*yb^2*yc + 2*xa*yb*yc^2 - xa*yb - xa*yc - 2*xb^2*xc*ya^3 - 2*xb^2*xc*ya - 2*xb*xc^2*ya^3 - 2*xb*xc^2*ya - 2*xb*ya^3*yc^2 - xb*ya^3 + xb*ya^2*yc - 2*xb*ya*yc^2 - xb*ya + xb*yc - 2*xc*ya^3*yb^2 - xc*ya^3 + xc*ya^2*yb - 2*xc*ya*yb^2 - xc*ya + xc*yb
2*xa^2*xb^2*xc^2*ya + 2*xa^2*xb^2*ya*yc^2 + 2*xa^2*xc^2*ya*yb^2 + 2*xa^2*ya*yb^2*yc^2 + 2*xa^2*yb + 2*xa^2*yc - 2*xa*xb*yc - 2*xa*xc*yb + 2*xb^2*xc^2*ya^3 + 2*xb^2*ya^3*yc^2 + 2*xb*xc*ya + 2*xc^2*ya^3*yb^2 + 2*ya^3*yb^2*yc^2 + 2*ya^2*yb + 2*ya^2*yc - 2*ya*yb*yc
xa^3*xb + xa^3*xc - 2*xa^2*xb^2*ya*yc - xa^2*xb^2 - xa^2*xb*xc - 2*xa^2*xc^2*ya*yb - xa^2*xc^2 - 2*xa^2*ya*yb^2*yc - 2*xa^2*ya*yb*yc^2 - xa^2*ya*yb - xa^2*ya*yc - xa^2*yb^2 - 3*xa^2*yb*yc - xa^2*yc^2 - xa^2 + xa*xb*ya^2 - 6*xa*xb*ya*yc + xa*xb + xa*xc*ya^2 - 6*xa*xc*ya*yb + xa*xc - 2*xb^2*xc^2*ya^2 + xb^2*xc^2 - 2*xb^2*ya^3*yc - 2*xb^2*ya^2*yc^2 - xb^2*ya^2 + xb^2*yc^2 - 7*xb*xc*ya^2 - xb*xc - 2*xc^2*ya^3*yb - 2*xc^2*ya^2*yb^2 - xc^2*ya^2 + xc^2*yb^2 - 2*ya^3*yb^2*yc - 2*ya^3*yb*yc^2 - ya^3*yb - ya^3*yc - 2*ya^2*yb^2*yc^2 - ya^2*yb^2 + 3*ya^2*yb*yc - ya^2*yc^2 - ya^2 - ya*yb - ya*yc + yb^2*yc^2 + yb*yc
- xa^3*xb*yc - xa^3*xc*yb + xa^2*xb^2*ya + xa^2*xb^2*yc + 3*xa^2*xb*xc*ya + xa^2*xc^2*ya + xa^2*xc^2*yb + xa^2*ya*yb^2 + xa^2*ya*yb*yc + xa^2*ya*yc^2 + xa^2*ya + xa^2*yb^2*yc + xa^2*yb*yc^2 + 4*xa*xb^2*xc*ya + 4*xa*xb*xc^2*ya - xa*xb*ya^2*yc + 4*xa*xb*ya*yc^2 + 2*xa*xb*ya + xa*xb*yc - xa*xc*ya^2*yb + 4*xa*xc*ya*yb^2 + 2*xa*xc*ya + xa*xc*yb + xb^2*ya^3 + xb^2*ya^2*yc + xb^2*ya - xb^2*yc + 3*xb*xc*ya^3 + 3*xb*xc*ya + xc^2*ya^3 + xc^2*ya^2*yb + xc^2*ya - xc^2*yb + ya^3*yb^2 + ya^3*yb*yc + ya^3*yc^2 + ya^3 + ya^2*yb^2*yc + ya^2*yb*yc^2 - 2*ya^2*yb - 2*ya^2*yc + ya*yb^2 + ya*yb*yc + ya*yc^2 + ya - yb^2*yc - yb*yc^2
- 2*xa^3*xb*xc + 2*xa^3*yb*yc + 2*xa^2*xb^2*xc + 2*xa^2*xb*xc^2 + 2*xa^2*xb*ya*yc + 2*xa^2*xb*yc^2 + 2*xa^2*xc*ya*yb + 2*xa^2*xc*yb^2 - 2*xa*xb^2*xc^2 - 2*xa*xb^2*yc^2 - 2*xa*xb*xc*ya^2 - 2*xa*xc^2*yb^2 + 2*xa*ya^2*yb*yc - 2*xa*yb^2*yc^2 + 2*xb^2*xc*ya^2 + 2*xb*xc^2*ya^2 + 2*xb*ya^3*yc + 2*xb*ya^2*yc^2 + 2*xc*ya^3*yb + 2*xc*ya^2*yb^2
- xa^3*yb - xa^3*yc - 2*xa^2*xb^2*xc*ya - 2*xa^2*xb*xc^2*ya - 2*xa^2*xb*ya*yc^2 - xa^2*xb*ya - xa^2*xb*yc - 2*xa^2*xc*ya*yb^2 - xa^2*xc*ya - xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*xc^2*ya - 2*xa*xb^2*ya*yc^2 + 2*xa*xb^2*yc + 6*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya*yb^2 + 2*xa*xc^2*yb - xa*ya^2*yb - xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2*yc^2 - 6*xa*ya*yb*yc + 2*xa*yb^2*yc + 2*xa*yb*yc^2 - xa*yb - xa*yc - 2*xb^2*xc*ya^3 - 2*xb^2*xc*ya - 2*xb*xc^2*ya^3 - 2*xb*xc^2*ya - 2*xb*ya^3*yc^2 - xb*ya^3 - 7*xb*ya^2*yc - 2*xb*ya*yc^2 - xb*ya + xb*yc - 2*xc*ya^3*yb^2 - xc*ya^3 - 7*xc*ya^2*yb - 2*xc*ya*yb^2 - xc*ya + xc*yb
2*xa^3*xb*xc - 2*xa^3*yb*yc - 2*xa^2*xb^2*xc - 2*xa^2*xb*xc^2 + 2*xa^2*xb*ya*yc - 2*xa^2*xb*yc^2 + 2*xa^2*xc*ya*yb - 2*xa^2*xc*yb^2 + 2*xa*xb^2*xc^2 + 4*xa*xb^2*ya*yc + 2*xa*xb^2*yc^2 + 2*xa*xb*xc*ya^2 + 4*xa*xc^2*ya*yb + 2*xa*xc^2*yb^2 - 2*xa*ya^2*yb*yc + 4*xa*ya*yb^2*yc + 4*xa*ya*yb*yc^2 + 4*xa*ya*yb + 4*xa*ya*yc + 2*xa*yb^2*yc^2 + 2*xb^2*xc*ya^2 + 2*xb*xc^2*ya^2 + 2*xb*ya^3*yc + 2*xb*ya^2*yc^2 + 4*xb*ya^2 + 4*xb*ya*yc + 2*xc*ya^3*yb + 2*xc*ya^2*yb^2 + 4*xc*ya^2 + 4*xc*ya*yb
xa^3*yb + xa^3*yc - xa^2*xb*ya + xa^2*xb*yc - xa^2*xc*ya + xa^2*xc*yb - 2*xa*xb^2*ya - 2*xa*xb^2*yc - 6*xa*xb*xc*ya - 2*xa*xc^2*ya - 2*xa*xc^2*yb + xa*ya^2*yb + xa*ya^2*yc - 2*xa*ya*yb^2 - 2*xa*ya*yb*yc - 2*xa*ya*yc^2 - 2*xa*ya - 2*xa*yb^2*yc - 2*xa*yb*yc^2 + xa*yb + xa*yc - xb*ya^3 - xb*ya^2*yc - xb*ya - xb*yc - xc*ya^3 - xc*ya^2*yb - xc*ya - xc*yb
- xa^3*xb*yc - xa^3*xc*yb + xa^2*xb^2*xc^2*ya + xa^2*xb^2*ya*yc^2 + xa^2*xb^2*yc - xa^2*xb*xc*ya + xa^2*xc^2*ya*yb^2 + xa^2*xc^2*yb + xa^2*ya*yb^2*yc^2 + xa^2*ya*yb*yc + xa^2*yb^2*yc + xa^2*yb*yc^2 + xa^2*yb + xa^2*yc - xa*xb*ya^2*yc - xa*xb*yc - xa*xc*ya^2*yb - xa*xc*yb + xb^2*xc^2*ya^3 - xb^2*xc^2*ya + xb^2*ya^3*yc^2 + xb^2*ya^2*yc - xb^2*ya*yc^2 - xb*xc*ya^3 + xb*xc*ya + xc^2*ya^3*yb^2 + xc^2*ya^2*yb - xc^2*ya*yb^2 + ya^3*yb^2*yc^2 + ya^3*yb*yc + ya^2*yb^2*yc + ya^2*yb*yc^2 + ya^2*yb + ya^2*yc - ya*yb^2*yc^2 - ya*yb*yc
xa^3*xb + xa^3*xc - 2*xa^2*xb^2*ya*yc - xa^2*xb^2 - xa^2*xb*xc - 2*xa^2*xc^2*ya*yb - xa^2*xc^2 - 2*xa^2*ya*yb^2*yc - 2*xa^2*ya*yb*yc^2 - xa^2*ya*yb - xa^2*ya*yc - xa^2*yb^2 - 3*xa^2*yb*yc - xa^2*yc^2 - xa^2 + xa*xb*ya^2 + 2*xa*xb*ya*yc + xa*xb + xa*xc*ya^2 + 2*xa*xc*ya*yb + xa*xc - 2*xb^2*xc^2*ya^2 + xb^2*xc^2 - 2*xb^2*ya^3*yc - 2*xb^2*ya^2*yc^2 - xb^2*ya^2 + xb^2*yc^2 + xb*xc*ya^2 - xb*xc - 2*xc^2*ya^3*yb - 2*xc^2*ya^2*yb^2 - xc^2*ya^2 + xc^2*yb^2 - 2*ya^3*yb^2*yc - 2*ya^3*yb*yc^2 - ya^3*yb - ya^3*yc - 2*ya^2*yb^2*yc^2 - ya^2*yb^2 - 5*ya^2*yb*yc - ya^2*yc^2 - ya^2 - ya*yb - ya*yc + yb^2*yc^2 + yb*yc
xa^3*xb*yc + xa^3*xc*yb + xa^2*xb^2*ya - xa^2*xb^2*yc + xa^2*xb*xc*ya + xa^2*xc^2*ya - xa^2*xc^2*yb + xa^2*ya*yb^2 + 3*xa^2*ya*yb*yc + xa^2*ya*yc^2 + xa^2*ya - xa^2*yb^2*yc - xa^2*yb*yc^2 + xa*xb*ya^2*yc - 2*xa*xb*ya + xa*xb*yc + xa*xc*ya^2*yb - 2*xa*xc*ya + xa*xc*yb + 2*xb^2*xc^2*ya + xb^2*ya^3 + 3*xb^2*ya^2*yc + 2*xb^2*ya*yc^2 + xb^2*ya - xb^2*yc + xb*xc*ya^3 - xb*xc*ya + xc^2*ya^3 + 3*xc^2*ya^2*yb + 2*xc^2*ya*yb^2 + xc^2*ya - xc^2*yb + ya^3*yb^2 + 3*ya^3*yb*yc + ya^3*yc^2 + ya^3 + 3*ya^2*yb^2*yc + 3*ya^2*yb*yc^2 + 2*ya^2*yb + 2*ya^2*yc + 2*ya*yb^2*yc^2 + ya*yb^2 + 5*ya*yb*yc + ya*yc^2 + ya - yb^2*yc - yb*yc^2
- xa^3*xb - xa^3*xc + xa^2*xb^2 + xa^2*xb*xc + xa^2*xc^2 - xa^2*ya*yb - xa^2*ya*yc + xa^2*yb^2 + 3*xa^2*yb*yc + xa^2*yc^2 + xa^2 - xa*xb*ya^2 - 2*xa*xb*ya*yc - xa*xb - xa*xc*ya^2 - 2*xa*xc*ya*yb - xa*xc - xb^2*xc^2 - xb^2*ya^2 - 2*xb^2*ya*yc - xb^2*yc^2 - xb*xc*ya^2 + xb*xc - xc^2*ya^2 - 2*xc^2*ya*yb - xc^2*yb^2 - ya^3*yb - ya^3*yc - ya^2*yb^2 - 3*ya^2*yb*yc - ya^2*yc^2 - ya^2 - 2*ya*yb^2*yc - 2*ya*yb*yc^2 - ya*yb - ya*yc - yb^2*yc^2 - yb*yc
- xa^2*yb - xa^2*yc + 2*xa*xb*ya + 2*xa*xc*ya + xb^2*yc + xc^2*yb + ya^2*yb + ya^2*yc + yb^2*yc + yb*yc^2

Coefficients_Denominateur_X_et_Y =

(xa^2 + ya^2)*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 - 2*yb*yc + 1)
(4*xb*yc + 4*xc*yb)*(xa^2 + ya^2)
- 2*xa*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 - 2*yb*yc + 1) - (xa^2 + ya^2)*(2*xb^2*xc + 2*xb*xc^2 + 2*xb*yc^2 + 2*xb + 2*xc*yb^2 + 2*xc)
(xa^2 + ya^2)*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 - 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 + 2*yb*yc + 1) + (xa^2 + ya^2)*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 - 2*yb*yc + 1)
- 2*ya*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 - 2*yb*yc + 1) - (xa^2 + ya^2)*(2*xb^2*yc + 2*xc^2*yb + 2*yb^2*yc + 2*yb*yc^2 + 2*yb + 2*yc) - 2*xa*(4*xb*yc + 4*xc*yb)
xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 + 2*xb*xc - 2*yb*yc + 2*xa*(2*xb^2*xc + 2*xb*xc^2 + 2*xb*yc^2 + 2*xb + 2*xc*yb^2 + 2*xc) + (xa^2 + ya^2)*(xb^2 + 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 + 2*yb*yc + yc^2) + 1
(4*xb*yc + 4*xc*yb)*(xa^2 + ya^2)
- 2*xa*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 - 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 + 2*yb*yc + 1) - (xa^2 + ya^2)*(2*xb^2*xc + 2*xb*xc^2 + 2*xb*yc^2 + 2*xb + 2*xc*yb^2 + 2*xc) - 2*ya*(4*xb*yc + 4*xc*yb)
4*xb*yc + 4*xc*yb + 2*ya*(2*xb^2*xc + 2*xb*xc^2 + 2*xb*yc^2 + 2*xb + 2*xc*yb^2 + 2*xc) + 2*xa*(2*xb^2*yc + 2*xc^2*yb + 2*yb^2*yc + 2*yb*yc^2 + 2*yb + 2*yc)
- 2*xb - 2*xc - 2*xa*(xb^2 + 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 + 2*yb*yc + yc^2) - 2*xb*xc^2 - 2*xb^2*xc - 2*xb*yc^2 - 2*xc*yb^2
(xa^2 + ya^2)*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 - 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 + 2*yb*yc + 1)
- 2*ya*(xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 - 2*xb*xc + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 + 2*yb*yc + 1) - (xa^2 + ya^2)*(2*xb^2*yc + 2*xc^2*yb + 2*yb^2*yc + 2*yb*yc^2 + 2*yb + 2*yc)
xb^2*xc^2 + xb^2*yc^2 + xc^2*yb^2 + yb^2*yc^2 - 2*xb*xc + 2*yb*yc + 2*ya*(2*xb^2*yc + 2*xc^2*yb + 2*yb^2*yc + 2*yb*yc^2 + 2*yb + 2*yc) + (xa^2 + ya^2)*(xb^2 + 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 + 2*yb*yc + yc^2) + 1
- 2*yb - 2*yc - 2*ya*(xb^2 + 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 + 2*yb*yc + yc^2) - 2*xb^2*yc - 2*xc^2*yb - 2*yb*yc^2 - 2*yb^2*yc
xb^2 + 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 + 2*yb*yc + yc^2

Cordialement,

Rescassol

Bonjour à tous
Comme promis, je vais essayer de m'attaquer aux rapports existant entre le groupe de Möbius et le groupe de Lorentz.
Ce n'est pas un sujet facile d'autant plus que le groupe de Möbius s'est fait la malle depuis quelque temps!
Les livres français qui en parlent sont assez rares.
J'en connais au moins trois:
Algèbre linéaire et géométrie élémentaire de Jean Dieudonné, publié chez Hermann en 1964 dans la collection enseignement des sciences, Annexe III, Inversions et groupe conforme, page 189.
C'est un livre très célèbre et très polémique sur l'enseignement de la géométrie!

Agrégation de mathématiques, Thèmes de géométrie de Rémi Goblot, publié chez Masson en 1998, Théorème 12.2, page 276

Problèmes de préparation à l'agrégation de mathématiques
2. Algèbre bilinéaire et géométrie
de Jean Marie Arnaudiès, publié chez Ellipses en 1999, problème 36, homographies et groupe de Lorentz, page 165.

En ligne, le cours de Daniel Perrin, Partie VI, la géométrie anallagmatique, chapitre 3, l'espace des cercles et des droites, généralités et isomorphisme de groupes, Théorème 3.3.3, page 76.

Quant à moi, je me contenterais de voir si les méthodes calculatoires mises en œuvre dans l'étude du revêtement $SU(2,\mathbb C)\mapsto SO(3,\mathbb R)\ $ fonctionnent encore et s'il n'y a pas comme l'a dit Lake un nouveau miracle qui se produit!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Comme le groupe de Lorentz fait partie du patrimoine mondial de la physique, il serait intéressant de voir s'il n'existe pas des livres français de physique théorique parlant de cet isomorphisme!
Mais ce n'est pas mon rayon!

Merci Bouzar
Le contraire m'eut étonné!
Je suppose que ce que nos physiciens appellent le groupe de Poincaré est le groupe de Möbius?
La der des der est pourtant finie depuis longtemps!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous.

$ \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}
\def\cc{\mathbb{C}} \def\rr{\mathbb{R}}
\def\pccd{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)} \def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}} \def\pccq{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{4}\right)}
\def\kub{\mathcal{Q}^{\parallel}} \def\kubo{\mathcal{Q}^{\perp}} \def\ptv{\;;\;}


\def\umbx{\Omega_{x}} \def\umby{\Omega_{y}} \def\linfz{\mathcal{L}_{z}} \def\where{\qquad\mathrm{où}\;} \def\vmz{\underset{z}{Ver}} \def\arn{\mathrm{Arn}}

\def\colcir#1{\mathcal{V}_{#1}} \def\colarn#1{\mathcal{A}_{#1}} \def\wedt{\bigwedge_{3}} $

Comme l'on sait, la géométrie est projective par nécessité. Evidemment, on peut toujours cultiver la nostalgie des époques où l'on traçait les figures sur le sable des plages, du Nil au Fleuve Jaune. Mais on peut aussi tenir compte des mathématiques dites modernes parce qu'elles ont moins de cinq siècles.

Le point générique de $\pcct$ s'écrit donc $\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)$, où $\vz$ se lit "grand zed", $\vt$ se lit "grand thé", et $\vzz$ se lit "grand zéta". On voit que \[ \left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\simeq\vz\umbx+\vt O+\vzz\umby\where\umbx\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)\ptv O\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\ptv\umby\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \] Cela revient à choisir les deux ombilics $\umbx,\,\umby$ et une origine pour former une base de l'espace. Et alors, un cycle ("droite" ou cercle) est une conique passant par les deux ombilics. Moyennant quoi, les calculs se simplifient énormément... tout en tenant compte de tous les prétendus "cas particuliers".

Comment décrire l'espace des cycles ? On en choisit 4 comme base et on fait quelques calculs élémentaires. Une base particulièrement efficace est fournie par le plongement de Veronese (c'est ce que fait Pedoe dans son bouquin): \[ \vmz\left(\vz:\vt:\vzz\right)\doteq\left[\vt\vz,\vt^{2},\vt\vzz,\vzz\,\vz-\vt^{2}\right]\simeq\left[\vz,\vt,\vzz,\dfrac{\vzz\,\vz-\vt^{2}}{\vt}\right] \] Pour un point à distance finie, cela revient à utiliser les coordonnées ordinaires, augmentées de la puissance (normalisée) par rapport au cercle unité.

On peut alors vérifier que les Veronese des $M\left(\tau\right)\simeq\left(z:t:\zeta\right)+t\rho\left(\tau:0:1/\tau\right)$ sont co-hypertrucs. On trouve: \[ \colcir{}\left[\left(\begin{array}{c} z\\ t\\ \zeta \end{array}\right),\,\rho^{2}\right]\doteq\wedt\left(M\left(\tau\right),M\left(+1\right),M\left(-1\right)\right)\simeq
\left(\begin{array}{c} \zeta\\ t\,\rho^{2}-\dfrac{z\,\zeta+t^{2}}{t}\\ z\\ -t \end{array}\right) \] Remarque: les $\colcir{}$ ont été placés en colonnes pour insister sur le fait que focus est placé sur ce genre de points (représentatifs d'un cycle), plus que sur les Veronese eux-mêmes, qui sont donc perçus comme des hyperplans.

Le coeur de la chose est le suivant: une homographie$^{TM}$ dans $\pcct$. se relève en une collinéation dans $\pccq$. Autrement dit: une homographie$^{TM}$ transforme un faisceau de cycles en un autre faisceau de cycles. D'où les questions

(1): partir de $h(z)=(az+b)/(cz+d)$, écrite sous la forme \[ H\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\ \vzz \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} \left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt b+\vz a\right)\\ \left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt d+\vz c\right)\\ \left(\vt\beta+\vzz\,\alpha\right)\left(\vt d+\vz c\right) \end{array}\right) \] et obtenir la matrice $\widehat{H}$. Hint: presque tous les coefficients sont des monomes simples et les autres sont des binomes.

(2): écrire les colonnes propres de $\widehat{H}$ en partant d'une écriture habile des quatre points fixes de $H$.

(3): déterminer le plongement associé à la projection stéréographique, obtenir la nouvelle matrice $\widehat{H}$... et appliquer.

(4): examiner tout ce qui se perdrait lors d'une réduction à l'antique, où l'on supposerait $\vt\neq0$, pour poser $z=\vz/\vt$ ... et prier pour que $\vzz/\vt$ soit le conjugué complexe de $z$ (cachez tous ces points que je ne saurais voir, dont les points circulaires).

Cordialement, Pierre.

Bonjour,
Je m'interroge encore sur le dessin aimablement rappelé en haut de la page 10 par Gai Requin, et que Jelobreuil trouve parfaitement compréhensible. (Veinard !)
J'ai du mal avec le fait que La droite $(AM)$ coupe son image $(A'M')$ sur le cercle circonscrit à $O, A, A'$ ?
(Dessin de droite.)
Avec les angles inscrits, ça me paraît faisable. Mais sans eux ?

Rappel : il s'agit de constructions évoquées récemment de l'homologue $M'$ de $M$ par la similitude qui envoie $A$ et $B$ sur $A'$ et $B'$.
À vrai dire, je cherche un lien entre les deux méthodes.
Et pour simplifier le dessin, je remplace la connaissance de $B$ et $B'$ par celle du centre $O$.

1) Dans le cas de gauche, les intersections de parallèles avec leurs images (rouges) sont alignées sur une droite verte. (En général. Et comme, ici, on a un centre, elles sont même alignées avec le centre.) Pappus a bien expliqué (même si ma compréhension reste incomplète), notamment dans Transformation affine plane, que l'ensemble est une droite.

2) Dans le cas de droite, l'intersection $A''$ de toute corde (bleue) issue de $A$ avec son image (rouge) a le goût exquis de se trouver justement sur le cercle circonscrit à $O, A, A'$ (vert). But why, bon sang ?

Je suis désolé de ne pas réussir à me débrouiller avec les nombreuses explications de Pappus, et me doute que l'analogie que je propose (entre droite verte et cercle vert) n'est peut-être pas au point, mais son but est le suivant : m'aider à comprendre (2) avec ... la géométrie affine, car pour l'instant, je sèche. Ah oui, mais qui dit cercle, dit géométrie euclidienne ? Hum, Pldx1 lie droites, cercles et coniques donc je ne perds pas espoir et me répète : je cherche une démonstration sans les angles.

Amicalement,
Swingmustard

Je débarque, excusez moi.
Je signale que toute matrice de $SL(2,\mathbb{C})$ est
le produit de quatre matrices (ou moins) du type
$$
\begin{pmatrix} 1&0\\a&1 \end{pmatrix}
$$

Cher pappus,
Je suis largué d'une part, et d'autre part bien content d'invoquer l'excuse pas bidon que d'autres tâches m'empêchent actuellement de prendre le temps d'essayer. Je te suis pourtant tellement reconnaissant !
1) En indication, tu conseilles de "transformer la figure par une transformation projective la plus générale! "
Euh, une homographie ?
2) "Alors le lieu du point $M=L\cap L'\ $ est une conique passant par $A\ $, $A' \ $ et les points fixes de $f.$"
Exactement le genre de chose que j'espérais lire !
Puisque tu vas également traiter les transformations affines qui n'ont pas de point fixe, leurs extensions auront pour point fixe l'infini ?

Merci pour la magnanimité,
Swingmustard

Bonjour pappus,

Dans le cas d'une similitude indirecte $f$, on obtient une hyperbole équilatère qui est dégénérée ssi $f$ est une isométrie.

Ah oui pardon, l'hyperbole équilatère est dégénérée ssi $f$ est une symétrie axiale.

Hint : Parmi les points fixes de $f$ vue comme une homographie du plan affine complété projectivement, il y a deux points à l'infini qui produisent deux directions orthogonales.

Mon cher Cailloux
Le problème est qu'on utilise l'intersection de deux hyperboles équilatères et que cela déplait souverainement aux sectateurs de la règle et du compas qui tiennent à leurs deux instruments comme à la prunelle de leurs yeux.
D'où ma question:
Comment construire à la règle et au compas le centre et l'axe de la similitude indirecte $f:AB\mapsto A'B'?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous,

pappus, je crois qu'il en a été largement question dans ce fil : Centre similitude indirecte..

Mais est-ce à cela que tu fais allusion ?

Amicalement.

Bonjour à tous
J'ai retardé le plus longtemps possible ce moment mais comme je l'avais promis, je vais m'attaquer aux rapports existant entre la géométrie circulaire et le groupe de Lorentz.
Entre temps Pierre que je salue est venu mettre son grain de sel.
Il sera sans doute déçu par mon traitement de la situation mais je veux montrer qu'on peut s'en tirer en restant le plus élémentaire possible et en en sachant le moins possible sur la géométrie circulaire, la géométrie projective et le groupe de Lorentz.
Et cela tombe bien dans notre univers thaléso-pythagoricien.
Mon ambition est donc plus modeste, simplement mener jusqu'au bout des calculs a priori infaisables à la main.
Je les ai faits, il y a des décennies et j'ai été heureux de les retrouver dans un vieux cahier car j'aurais été bien incapable de les refaire vu mon état mental actuel.
Je rappelle la situation
Je reprends mon diagramme stéréographique :
$$
\xymatrix{\mathbb
S^2\ar[r]^r\ar[d]_{\pi}&\mathbb S^2
\ar[d]^{\pi}\\
\widehat{\mathbb C}\ar[r]^{\sigma}&\widehat{\mathbb C}
}
\qquad
\qquad r=\pi^{-1}.\sigma.\pi\qquad
$$ Mais cette fois je suppose que $\sigma\ $ est une homographie quelconque de $\widehat{\mathbb C}.\qquad$.
On connait les écritures des trois morphismes composant $r$ et votre boulot, si vous l'acceptez, est tout simplement d'avoir l'immense courage de les composer !!!
Une fois le résultat obtenu, on pourra alors disserter dessus !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour pappus,

Si les calculs figurent dans un de tes vieux cahiers, c'est qu'ils sont encore "abordables manuellement".
J'ai écrit 2 disons plutôt une ligne(s) de calculs pour constater que je me dirigeais vers des complications.
D'où ma question : le résultat final, à savoir l'écriture explicite de $r$, est-elle relativement "simple" ou parfaitement infernale ?
Bref, les petits miracles sont-ils encore présents ?
Si oui, je vais probablement insister ... sans garantie de résultats.

Amicalement.

$ \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}}
\def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}}
\def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}
\def\cc{\mathbb{C}} \def\rr{\mathbb{R}}
\def\pccd{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{2}\right)}
\def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)
}}
\def\pccq{\mathbb{P}_{\cc}\!\left(\cc^{4}\right)}
\def\kub{\mathcal{Q}^{\parallel}}
\def\kubo{\mathcal{Q}^{\perp}} \def\ptv{\;;\;}

\def\umbx{\Omega_{x}} \def\umby{\Omega_{y}}
\def\linfz{\mathcal{L}_{z}}
\def\where{\qquad\mathrm{où}\;}
\def\vmz{\underset{z}{Ver}}
\def\arn{\mathrm{Arn}}

\def\colcir#1{\mathcal{V}_{#1}}
\def\colarn#1{\mathcal{A}_{#1}}
\def\wedt{\bigwedge_{3}} $

Coupons la difficulté en plusieurs morceaux.

(1) on part de $h(z)=(az+b)/(cz+d)$). Quelle est l'action du "passage à l'application inverse"
sur les coefficients de $h$ ?

(2) On se décide à intrinsinquer tout cela en se résignant à considérer que l'autre quart de tour est tout aussi
beau que le quart de tour noté $+i$. Cela mène à projectifier $z$ sous la forme $\vz:\vt:\vzz$, et à réécrire $h$
sous la forme:
\[ H\left(\begin{array}{c} \vz\\ \vt\\
\vzz
\end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c}
\left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt b+\vz
a\right)\\
\left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt d+\vz
c\right)\\
\left(\vt\beta+\vzz\,\alpha\right)\left(\vt d+\vz
c\right) \end{array}\right) \]
Quelle est l'action du "passage à l'application réciproque" sur les coefficients de $H$ ?
Indication: on peut essayer en force brute, avec un bon outil de calcul. On peut aussi
remarquer que la question (2) suit la question (1).

Cordialement, Pierre.

Bonjour.

Une fois le plan mis à la sauce projective, selon $

\def\colcir#1{\mathcal{V}_{#1}} \def\vz{\mathrm{\mathbf{Z}}} \def\vzz{\overline{\mathcal{Z}}} \def\vt{\mathrm{\mathbf{T}}}

z\mapsto (z,\overline z)\mapsto\vz:\vt:\vzz,

$ trois méthodes usuelles se présentent à nous pour le choix d'une base pour l'espace des cycles.

Il y a $\left[\vz\vt:\vt^{2}:\vzz\vt:\vz\vzz\right]$, utilisant la "droite" de l'infini, les deux "droites" isotropes passant par l'origine et le "cercle factorisé" comme générateurs.

Il y a aussi la méthode Pedoe, utilisant $\left[\vz\vt:\vt^{2}:\vzz\vt:\vz\vzz-\vt^{2}\right]$, c'est à dire utilisant le cercle unité au lieu du "cercle factorisé".

Et il y a enfin la méthode sphérique, c'est à dire $\left[2X\,\vt:2Y\,\vt:\vz\vzz-\vt^{2}:\vz\vzz+\vt^{2}\right],$ utilisant les deux "axes" réels, le cercle visible unité et le cercle imaginaire unité comme générateurs. Le premier choix est le plus simple pour les calculs, même si $v_{1}v_{3}-v_{2}v_{4}$ n'est pas une quadrique très "intuitive". Le deuxième choix donne une quadrique un peu plus intuitive, tandis que le choix sphérique donne une "belle quadrique"... au prix d'un fort allongement des calculs.

Mais même dans le cas sphérique (celui choisi par pappus) il suffit d'écrire le Veronese (sphérique) sous la forme \[ V_{s}\simeq \left[2X:2Y:\frac{\vz\vzz}{\vt}-\vt:\frac{\vz\vzz}{\vt}+\vt\right] \] pour passer du degré 4 au degré $2$. En effet nous étudions l'action d'une homographie. Et dans ce cas, la fraction \[ \frac{\vz'\,\vzz'}{\vt'}=\frac{\left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt b+\vz a\right)\times\left(\vt\beta+\vzz\,\alpha\right)\left(\vt d+\vz c\right)}{\left(\vt\delta+\vzz\,\gamma\right)\left(\vt d+\vz c\right)} \] présente la grande amabilité de se simplifier... et il en va de même lorsque l'on utilise $H^{-1}$ et non pas $H$.

Cordialement, Pierre.

Bonjour à tous
On peut faire le joint avec l'article de physique théorique que j'avais cité dans [large]ce message[/large] où nous avions appris que nous étions constitués de particules élémentaires c'est-à-dire de représentations irréductibles unitaires d'un certain groupe $G.\qquad$.
Cela devrait faire plaisir à AD que je salue !
Accessoirement page 9 de ce même article, on faisait opérer le groupe $SL(2,\mathbb C)\ $ sur l'espace des matrices hermitiennes de taille 2 par :
$$M'=A.M.A^*\qquad
$$ où $$A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\qquad
$$ et $$M=\begin{pmatrix} T+Z&X+\imath Y\\X-\imath Y&T-Z\end{pmatrix}\qquad
\\
M'=\begin{pmatrix} T'+Z'&X'+\imath Y'\\X'-\imath Y'&T'-Z'\end{pmatrix}\qquad
$$ On devrait en principe retomber sur les formules que j'ai déjà données !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour.

Faisceaux orthogonaux, suite: notons $\def\xep{\mathcal A} \xep_{j},\,j=1..4$ les apexes de quatre cycles $\def\cir{\mathcal C} \cir_j$ du plan projectif complexe.
Le faisceau engendré par $\cir_1,\cir_2$ est décrit par la matrice $ \def\pluck{\underset{6}{\wedge}}
\boxed{\Delta_{12}}={\xep_{1}}\pluck{\xep_{2}}$ et le faisceau engendré par $\cir_3,\cir_4$ est décrit par la matrice $ \boxed{\Delta_{34}}={\xep_{3}}\pluck{\xep_{4}}$. Quelle est la relation existant entre ces deux matrices lorsque les faisceaux sont othogonaux ?

Rem: utiliser la "notation électromagnétique" peut s'avérer utile !

Cordialement, Pierre.