Repère orthonormé et longueurs

Andropie
Andropie
dans Géométrie
Bonjour, soit un repère orthonormé en trois dimensions (O,X,Y,Z), et deux points A(x,y,z) et B(x',y',z').
Pour montrer que la longueur AB est la racine carrée de la somme des carrés des différences respectives x'-x, y'-y et z'-z, on utilise le théorème de Pythagore. Mais en l'utilisant, on admet déjà que les points (x,y,z) et (x',y,z) sont distants de |x'-x|, (x,y,z) et (x,y',z) sont distants de |y'-y| et (x,y,z) et (x,y,z') sont distants de |z'-z|.
Ce qui m'intéresse, c'est les justifications de ces distances. On peut par exemple, pour les points (x,y,z) et (x',y,z) justifier que leur distance est bien de |x'-x| car, leurs ordonnées et hauteurs étant les mêmes, les plans respectifs P et P' [tels que P est parallèle au plan (OYZ) et passe par A et P' est parallèle au plan (OYZ) et passe par B] étant parallèles aussi, la distance entre (x,y,z) et (x',y,z) est la même que la distance entre P et P' qui coupent respectivement l'axe des abscisses en x et x', c'est-à-dire |x'-x|. Et on raisonne de manière analogue pour justifier les deux autres distances |y'-y| et |z'-z|.
N'y a-t-il pas une justification plus simple ? Est-ce purement axiomatique ?
Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Difficile de répondre à ta question, car on ne sait pas dans quel cadre tu te places, c'est-à-dire par exemple comment est définie la distance, ou encore quel rapport entre les distances et les axes.
    Dans les présentations modernes de la géométrie, la distance est directement donnée par la formule que tu veux démontrer, il n'y a donc rien à prouver. Dans des présentations plus anciennes (ce que j'ai vu quand j'étais lycéen), on savait que la distance est conservée par les translations, et la distance entre deux points d'un même axe était donnée par la différence des abscisse (ou ordonnées ou cote) simplement par définition de "orthonormé".

    Ta question n'a donc de sens que dans un cadre précis de définition de la géométrie. Si tu as ce cadre (ça peut prendre plusieurs pages pour dire tout ce qui est connu : axiomes, définitions, propriétés déjà connues).

    Cordialement.
  • Andropie
    Andropie
    Bonsoir,

    Je ne savais pas qu’on pouvait poser comme une définition la formule en question. Dans ce cadre-ci, qu’est-ce qui prouve qu’il est cohérent d’opter pour cette définition ? Car pour moi ça ne me parait pas naturel de poser un « résultat » géométrique comme définition.

    Sinon dans les manuels de lycée, on y aboutit par le théorème de Pythagore. J’aimerais donc prendre comme définition de la distance entre deux points la différence des abscisses qu’auraient ces deux points sur la droite qui passe par ces deux points, laquelle aurait même graduation que les les trois axes dejà existants.

    Merci
  • gerard0
    gerard0
    La justification est qu'on utilise les formules "connues". On ne va pas changer les mathématiques parce qu'on les présente autrement. En maths, il n'y a pas de "vérités premières", ce qui est axiome dans un cadre donné est théorème dans un autre.

    Pour ce qui est fait en lycée (mais il n'y a plus de construction systématique de la géométrie), je t'ai donné les outils : se ramener par translation à ce qui se passe sur les axes, et voir comment on mesure les distances sur un axe. Tu peux le faire toi-même.

    Cordialement.
  • Andropie
    Andropie
    D’accord, merci. Bonne journée
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