Les cas d'égalité de triangles
Réponses
-
Bonjour.
Je trouve qu'elle existe une analogie ; entre les cas d'égalité de triangles et les cas de similitude de triangles .
- CCC ( égalité ) analogue aux CCC ( similitude )
- CAC ( égalité ) analogue aux CAC ( similitude )
- ACA ( égalité ) analogue aux ACA ( similitude ).
Mais dans ACA ( similitude ) ; on trouve A...A (similitude ).
Alors ; ou est passée la lettre ...C...( qui veut dire : Coté ).
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bien sûr que si .djelloul sebaa a écrit:Par contre : la construction ACC ( prise dans cet ordre ) est impossible. -
Tout dépend de ce que signifie « XYZ dans cet ordre est possible » pour X, Y et Z à valeurs dans {A,C}.
C’était à peu près l’objet de mon précédent message. -
Pour une similitude de triangle , je pense que AA suffit . La similitude conserve les angles .- ACA ( égalité ) analogue aux ACA ( similitude ). -
Bonsoir
J'ai feuilleté les programmes des Lycées et Collèges et je n'ai rien trouvé sur les cas d'égalités des triangles pour ne pas parler des cas de similitudes.
Par contre, j'ai noté qu'en Sixième, on étudiait le pavé sous toutes ses coutures, sans doute un souvenir de Mai 1968. Le reste est à l'avenant!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
(tu)
-
Bonne Année à tous
Je crois qu'on peut résumer la situation en reconnaissant lucidement
que les cas d'égalité des triangles comme leurs cas de similitude ont disparu à jamais de notre culture.
Heureusement il nous reste quand même la chanson de
CADET ROUSSELLE
Cadet Rousselle a trois maisons, (bis)
Qui n’ont ni poutres ni chevrons, (bis)
C’est pour loger les hirondelles
Que direz-vous d’Cadet Rousselle ?
Refrain :
Ah ! Ah ! Ah oui vraiment
Cadet Rousselle est bon enfant.
Cadet Rousselle a trois maisons (bis)
Les deux ronds ne sont pas très beaux (bis)
Et le troisième est à deux cornes
De sa tête il a pris la forme
Refrain
Cadet Rousselle a trois habits (bis)
Deux jaunes, l’autre en papier gris (bis)
Il met celui-là quand il gèle
Ou quand il pleut ou quand il grêle
Refrain
Cadet Rousselle a une épée (bis)
Très longue, mais toute rouillée (bis)
On dit qu’elle ne cherche querelle
Qu’aux moineaux et aux hirondelles
Refrain
Cadet Rousselle a trois garçons (bis)
L’un est voleur, l’autre est fripon (bis)
Le troisième est un peu ficelle
Il ressemble à Cadet Rousselle
Refrain
Cadet Rousselle a trois gros chiens (bis)
L’un court au lièvre, l’autre au lapin (bis)
L’troisième s’enfuit quand on l’appelle
Comm’ le chien de jean de Nivelle
Refrain
Cadet Rousselle a trois beau chats (bis)
Qui n’attrapent jamais les rats (bis)
Le troisièm’ n’a pas de prunelle
Il monte au grenier sans chandelle
Refrain
Cadet Rousselle a trois deniers (bis)
C’est pour payer ses créanciers (bis)
Quand il a montré ses ressources
Il les remet dans sa bourse
Refrain
Cadet Rousselle ne mourra pas (bis)
Car avant de sauter le pas (bis)
On dit qu’il apprend l’orthographe
Pour faire lui-même son épitaphe.
Refrain
Cadet Rousselle est un maniaque(bis)
Car avant de toucher du CAC(bis)
On dit qu'il mange des rotangles
Sans même savoir ce qu'est un angle
Refrain
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
.............................................................................................
.Citation
- ACA ( égalité ) analogue aux ACA ( similitude ).
.........................................................................................................
La construction ACA (d'égalité) est possible car le rapport d'égalité K = 1 ( donc K est défini )
La construction ACA ( de similitude) est possible ; car le rapport de similitude K est défini (différent de 1 ).
La construction A...A ( de similitude) est impossible ; parce que le rapport de similitude K n'est pas défini.
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bonjour
Je ne vois pas pourquoi cette construction serait impossible mais peut-être faudrait-il savoir ce qu'on entend par construction A...A ( de similitude).Djelloul Sebaa a écrit:La construction A...A ( de similitude) est impossible ; parce que le rapport de similitude K n'est pas défini.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour.
La construction A...A veut dire la construction Angle...Angle .
Voici un exemple:
Soient deux triangles A1B1C1 et A2B2C2.
Connaissons le triangle A1B1C1
On veut construire le triangle A2B2C2.....................................( à la regle et au compas )
tels que: 'angle B1 = 'angle B2 et l'angle C1 =angle C2.
Question : Ces triangles A1B1C1 et A2B2C2 sont-ils semblables ou non semblables et pourquoi.
à travers ce petit exercice ; les choses vont s'éclaircir.
Cordialement.
Djelloul Sebaa . -
On peut construire une infinité de triangles connaissant les 3 angles (2 suffisent) . Ils sont tous semblables .
Si un de ces triangles est donné , il suffit de mener des parallèles à chacun de ses côtés pour en construire un autre semblable . -
En effet dans ces conditions (c’est-à-dire que si on a un triangle, alors on peut en tracer autant qu’on le souhaite avec au moins deux angles de mêmes mesures - et le troisième l’est également) la construction est possible (j’entends bien entendu qu’on ne me demande pas de le faire si les côtés du premier mesurent quelques années lumières...).
-
Bonjour
Depuis le début de ce fil, je trouve qu’on pédale dans la semoule!
Comment dans les programmes actuels des lycées et collèges définit-on l’égalité des segments, des angles et des triangles?
Réponse: eh bien on se tourne les pouces et on ne définit rien du tout!
Tout ce qu’on peut faire à la rigueur, c’est construire par exemple un triangle connaissant certains de ses éléments métriques!
Quant à donner des critères pour que deux triangles soient dans la même orbite sous l’action du groupe des isométries ou des similitudes, il faut attendre au minimum que soient définies ces isométries et ces similitudes c’est à dire un certain temps!
Il faut lire le Berger, tome 2, pour avoir un exposé correct des cas d’égalité des triangles.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Rien n’est indiqué explicitement dans les programmes.
Ce que j’ai vu de « plus rigoureux »...est dans tout ce qui suit où l’on est en 6e.
On ne définit pas le terme « superposable » mais on fait des grands gestes ou bien on joue avec du papier calque.
Ainsi « être superposable » est une notion primitive (remplaçant assez bien la notion d’isométrie, non ?).
Les segments : des segments sont dits de même longueur lorsqu’ils sont superposables.
Remarque : c’est intéressant car sans le dire on définit « longueur » à cet endroit par une classe d’équivalence, sans y mettre un nombre même si on y vient vite, évidemment...
Les angles : des angles sont dits de même mesure lorsqu’ils sont superposables.
Remarque : les angles du collège sont pour ma part davantage des ensembles de points - ce qui s’appelle plutôt des secteurs angulaires (l’ensemble des points de l’une des zones départagée par deux demi-droites de même origine).
Les triangles (on est plutôt en 5e) : il y a débat.
Les pro disent « triangles égaux » pour « triangles isométriques » donc il me semble qu’on devrait définir encore par « triangles superposables ».
Mon point de vue est de dire que « triangles égaux » signifie « mêmes longueurs de côtés et mêmes mesures d’angles ». Je trouve cela bien plus légitime...
Une autre école est « mêmes longueurs de côtés » seulement.
Remarque : je ne sais plus où j’ai vu ce qui suit...
Un prof avait décidé de considérer les cas d’égalité comme des axiomes et démontrait plein de choses avec. -
Mon cher Dom
Les glissements ( progressifs du plaisir?) et les superpositions ( de corps parfaits) n'ont jamais été des activités mathématiques même s'ils peuvent être très agréables mais évidemment on peut le faire croire aux âmes sensibles!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Je le sais bien mon cher [small]p[/small]appus, mais les programmes X sont ce qu'ils sont, notamment depuis mai 69 X:-(
-
Mon cher Dom
C'est bien pourquoi je dis qu'on pédale dans la semoule.
Mais cela n'a aucune importance: partant de n'importe quoi on arrive n'importe où!
Les agrégatifs ou les capésiens peuvent lire le Berger autant de fois qu'ils le veulent. Ils savent qu'ils n'auront jamais de géométrie à enseigner en général et de cas d'égalité du triangle en particulier.
Toutes ces discussions me semblent aussi oiseuses que celles concernant le sexe des ang(l)es.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour.
..........................................................................................................
C'et quoi un carré par rapport à un losange.
C'est quoi un losange par rapport à un carré..
..................................................................................................
..........................................................................................
PAR ANALOGIE:
C'est quoi deux triangles égaux par rapport à deux triangles semblables.
C'est quoi deux triangles semblables par rapport à deux triangles égaux.
..................................................................................................................
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Cela dégénère encore, non ?
Je ne vois pas les analogies d'ailleurs.
Est-ce une question ? -
Bonjour
Je voudrais expliquer ma position en analysant le cas $CCC$ qui a le gros avantage sur les deux autres cas de ne pas avoir la lettre $A$.
Nous n'aurons donc pas à utiliser ces maudits angles dont personne dans l'enseignement secondaire ne donne de définitions correctes.
Voici une activité simple qu'on peut proposer à un collégien dès la classe de Sixième.
On se donne dans le plan un triangle $ABC$ dont les longueurs des côtés sont notées comme d'habitude: $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$.
Il dispose arbitrairement du point $B'$.
On lui demande alors de construire un point $C'$ tel que $B'C'=a$.
Il me semble que ce n'est pas trop difficile quand on dispose d'une règle et d'un compas.
Ensuite on lui demande de construire un point $A'$ tel que $A'C'=AC=b$ et $A'B'=AB=c$.
Là aussi, ce n'est pas très difficile: on obtient deux points $A'_1$ et $A'_2$ à l'intersection de deux cercles
Mais dire maintenant que les triangles $A'_1B'C'$ et $A'_2B'C'$ sont égaux au triangle $ABC$ est impossible puisqu'on ne dispose d'aucune définition de cette égalité.
Par contre pour la classe de Seconde (?), on peut étudier à l'aide de GeoGebra, pour $B$, $C$, $B'$, $C'$ fixés les applications $A\mapsto A'_1$ et $A\mapsto A'_2$ et voir les lieux décrits par les points $A'_1$ et $A'_2$ quand $A$ décrit une droite ou un cercle.
Je ne vois pas très bien ce qu'on peut faire de mieux faute de disposer d'une définition des isométries.
Un problème difficile, même pour des agrégatifs serait de chercher les points $A$ tels que $A=A'$!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Voici un exemple:
Soient deux triangles A1B1C1 et A2B2C2.
Connaissons le triangle A1B1C1
On veut construire le triangle A2B2C2.....................................( à la regle et au compas )
tels que: 'angle B1 = 'angle B2 et l'angle C1 =angle C2 et B2C2 = 2. B1C1.
Question : Dans ce cas de similitude ; de quel cas : AA ou ACA
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bonjour
Il faut lire $B_2C_2=2B_1C_1$ et non $B_2C_2=2A_1C_1$.
Ceci dit la question de Djelloul Sebaa n'a absolument aucun intérêt pour ne pas dire qu'elle est incompréhensible!
Il aurait fallu poser la question:
Avec les données imposées, à savoir: le triangle $A_1B_1C_1$ et les points $B_2$ et $C_2$ (tels que $B_2C_2=2B_1C_1$), construire à la règle et au compas le ou les points $A_2$ tels que les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ soient semblables.
On peut d'ailleurs laisser tomber la condition entre parenthèses!
On peut compter sur les doigts de la main les capésiens et les agrégatifs capables d'effectuer cette construction sans sourciller puisque la théorie des similitudes a disparu des programmes du secondaire depuis belle lurette et qu'ils n'ont pas le temps vu le programme démentiel qu'ils doivent ingérer de s'investir beaucoup en géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ci-dessous la construction demandée qui n'a rien à voir avec quelque hypothétique cas de similitude que ce soit! -
Bonjour.
Le but de ma question ; est de prouver que le 1er cas de similitude de triangles : c'est bien la construction de ACA et non AA.
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bonjour
En résumé parler de cas d'égalité ou de similitude de triangles sans avoir défini au préalable les isométries et les similitudes est une escroquerie pure et simple!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Mon cher [small]p[/small]appus,
Je m'interroge sur deux choses.
1) Historiquement, Euclide n'avait pas de produit scalaire.
Sais-tu comment il définissait ce qu'est une isométrie ?
Je veux dire, qu'avait-il à sa disposition ?
2) On peut définir "triangles égaux" par "mêmes longueurs de côté et mêmes mesures d'angles", non ?
Je sais qu'on s'écarte de la notion d'isométrie, ou plutôt qu'on la cache sous le tapis...
Je sais aussi que les épineux angles piquent par l'absence de leurs définitions.
A ce propos, Euclide utilise-t-il les rotations pour définir les angles ?
Fichtre, je n'y connais rien aux Éléments ;-) -
Mon cher Dom
J'avoue ne pas avoir lu Euclide mais j'ai quand même subi les cas d'égalités des triangles dans ma prime jeunesse où j'ai glissé et superposé mes figures sans autres états d'âme.
Mais on a fait quelque progrès depuis.
La révolution de 68 est passée par là avec les résultats que l'on sait.
Maintenant on n'enseigne plus ni isométrie ni similitude ni cas d'égalité ou de similitude et tout le monde est content d'être analphabète et se complaît dans sa misère intellectuelle!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci de ta réponse.
Je voulais savoir si tu parlais bien des progrès (ce que tu dis explicitement) ou alors d'autre chose.
Je suis d'accord sur ton constat et les conséquences des décisions et conjonctures sociétales.
A plus tard :-) -
Bonjour.
Message destiné à Pappus .
Merci pour cette magnifique figure ; une erreur s'est glissé dans cette dernière ; il fallait construire B2C2 = 2. B1C1. et non B2C2 = 1/2.. B1C1.
Cordialement.
Djelloul Sebaa -
Bonjour Djelloul
Il n'y a pas d'erreur dans ma figure faite dans le cas général avec $B_2C_2$ quelconque.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Dom écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1742480,1742716#msg-1742716
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Lorsque deux triangles ont été construits de la même manière, ce n'est pas la peine d'en faire des tonnes :
un simple "Par construction ABC et DEF sont égaux" suffit largement, en précisant de quel cas d'égalité il s'agit.
Rédiger 15 lignes pour expliquer une évidence est contre-productif, et ça va juste bousiller le cours.
Il y a un manque dans ce chapitre : aucun livre à ma connaissance ne propose d'exercices où deux triangles construits de manière différente sont égaux. Or là est un enjeu, un moteur qui tourne bien.
Je vous envoie ma petite recherche sur le sujet.
(1) A partir d'un coloriage angulaire : ABC = DEF.
Au passage on montre que le triangle 345 est rectangle sans Pythagore.
(2) GHI = JKL grâce à (1) (cas n°3)
(3) MNO = PRS : que vaut alpha + béta ?
(4) XYZ = WUT en utilisant une seule fois Pythagore.
Pour deux triangles égaux de ce quadrillage, proposer de calculer l'aire commune, car le calcul est souvent plus aisé pour l'un d'eux.
De plus, par exemple, on peut montrer que le triangle 3-7-8 est égal au triangle 3-60°-8 sans passer par Al-Kashi. -
Je ne savais pas au (1).
Je comprends l’égalité ABC=DEF.
Par contre « 3-4-5 est rectangle », quelle est la preuve ?
Édit : ok j’ai compris.
En fait la preuve des triangles « égaux car mêmes longueurs » contient Pythagore selon moi donc il n’y a rien de sorcier. -
Non, pas besoin, et il ne faut surtout pas utiliser le théorème de Pythagore :
par exemple, HI = JK car ce sont les diagonales de deux rectangles identiques.
Seuls les calculs de WT et YZ nécessitent Pythagore. -
Je reprends mon propos : comment prouve-t-on le cas d'égalité des triangles concernant les trois longueurs de côté ?
-
il n'y a rien à prouver du tout,
sauf si tu veux réduire à néant
la belle capacité de modélisation spatiale
que t'a offerte l'évolution. -
Houlala d'accord...
Avec ces considérations, je ne peux que m'incliner.
Bon, pour ne pas botter en touche, je comprendrais qu'on parle d'axiomes des triangles égaux.
Mais dans ce cas je trouve maladroit de dire qu'il n'y a pas besoin de Pythagore puisqu'il s'agit d'un cas particulier de triangles égaux (un triangle rectangle et deux longueurs etc.). -
tu parles bien de mes triangles juste au-dessus ?
la lecture de la totalité de ce fil m'a quelque peu dérouté..
si c'est oui, et si tu cherches une explication à donner à tes élèves,
alors je te le répète, pour moi il n'y a rien d'autre à dire que : c'est évident !
GH = KL, c'est évident !
HI = JK, c'est évident !!
et JL = GI d'après l'exercice 1
ou alors je ne comprends rien à ta question -
Bon admettons les deux premières évidences :-D (au passage c'est admettre un cas d'égalité des triangles : un angle droit et ses deux côtés adjacents).
Quand tu dis d'après l'exercice 1, qu'utilises-tu ? -
Je pense que si on a des triangles rectangle de côtés de longueurs 3 et 4 ce n'est pas un hasard et que l'on doit bien utiliser le théorème de Pythagore mais je ne suis pas certain de comprendre toutes les subtilités de ce fil :-D
Je rejoins Dom pour la question "d'après l'exercice 1)" -
Une petite correction tout d'abord : un coloriage des angles des triangles ABC et DEF
permet de montrer que
si un triangle rectangle a ses côtés de l'angle droit égaux à 3 et 4 alors son hypoténuse fait 5,
et non pas 345 implique angle droit.
Quand je dis "d'après l'exercice 1" je veux dire ça :
Il est clair que GI = DF et JL = BC.
Or, d'après l'ex 1, DF = BC.
Donc GI = JL.
De la même façon, pour l'ex 3 :
Il est évident que MN = NO et que PR = RS.
Or, d'après l'exercice 1, MN = PR.
Donc MN = NO = PR = RS.
De plus PRS = 180 - (alpha + Béta) = 180 - 90 = 90 = MNO.
Donc les triangles MNO et PRS sont égaux (cas d'égalité n°2). -
Bonjour
Si j'ai bien compris, l'égalité de deux triangles est définie par la notion expérimentale de superposabilité très intuitive.
En ce qui concerne le troisième cas d'égalité des triangles:
$BC=B'C'=a$, $CA=C'A'=b$, $AB=A'B'=c$
je pense que l'idée est la suivante.
J'ai un cercle $\Gamma$ de centre $M$ et de rayon $R$ et un cercle $\Gamma'$ de centre $M'$ et de même rayon $R$.
Quand je superpose les points $M$ et $M'$, les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ vont se superposer.
Au point de rigueur où on en est, on peut bien admettre cela.
Donc quand on va superposer les segments $BC$ et $B'C'$, où peut se trouver le point $A'$?
D'une part sur le cercle de centre $B$ et de rayon $c=AB$ et d'autre part sur le cercle de centre $C$ et de rayon $b=CA$.
Le point $A'$ se retrouve à l'intersection de deux cercles dont on connait déjà un des deux points d'intersection, à savoir le point $A$.
Finalement l'étude du troisième cas d'égalité des triangles équivaut sans le dire à l'étude de l'intersection de deux cercles, étude qui devrait précéder la théorie des cas d'égalité des triangles
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Il y a rigueur et rigueur...
Lisez cet exercice résolu du manuel Transmath, quelle ineptie !
Jamais je ne donnerais un exercice de ce genre à mes élèves,
car je considère qu'il n'y a rien à démontrer.
Aucun enjeu, rien du tout.
D'où peut bien sortir un texte pareil ??
Les élèves ne sont pas dupes d'ailleurs, et ils vous le jetteront à la figure.
Et des exemples de ce genre il y en a un paquet.. -
Vous considérez qu'il n'y a rien à démontrer dans cet exercice?!...l'enjeu est peut-être d'utiliser des propriétés vues en cours non?
-
Je ne crois pas qu'il faille utiliser une propriété pour démontrer ce qui relève d'une évidence.
On n'utilise pas une propriété simplement pour revendiquer le fait de l'avoir utilisé,
mais bien parce qu'elle permet d'éclairer le problème, et parfois de lui apporter une solution.
Or là il n'y a rien à dire, c'est tout à fait clair dès le départ.
Mon sentiment est qu'ici on fait croire à des sots qu'ils sont intelligents.
Par ailleurs qui allez-vous captiver avec un exercice pareil ? -
Le terme est lâché : il faut captiver....peu importe le fond du reste inexistant, l'important est que la forme soit attrayante...
-
Bonjour
Pour résumer la situation, la géométrie (au collège et au lycée), c'est parler pour ne rien dire.
Euclide n'aurait pas pensé à cela!
Je comprends pourquoi on criait: A bas Euclide, il y a cinquante ans.
Il ne faut surtout pas apprendre à réfléchir!
Il nous faut des moutons disciplinés!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Oui, bien sûr.. apprendre à réfléchir avec cet exercice..
Visiblement les blocages sont bien plus importants que je ne le pensais.
Car voyez-vous il y a bien plus de mathématiques dans mes huit triangles
que dans tous les manuels de quatrième réunis.
Je sais je les auscultés en détail. -
Mon cher Ludwig
Je trouve ton idée du quadrillage absolument géniale.
On peut même proposer tes exercices au niveau du Capes ou de l'Agrégation.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Hum, ouais.. peut-être..
Pour moi la seule question d'importance est : POUR QUI est cet exercice Transmath ?
Pour des élèves de 4ème ? J'en doute.
Ou alors on ne vit pas dans le même monde.
Le rôle d'un professeur n'est-il pas de prendre les élèves là où ils sont et de les amener le plus loin possible ?
Or mes huit triangles sont, de ce point de vue, imbattables.
Un petit fichier en cadeau moi aussi : -
Bon, je ne comprends pas pourquoi "il n'y a rien à démontrer" dans l'exercice scanné.
Dire qu'il est bidon, je veux bien mais je m'en fiche qu'un exercice soit bidon.
Au sujet des quadrillage, sans théorème ou axiome, je ne vois pas ce que l'on peut faire.
Dire "c'est évident" est le contraire de faire des mathématiques.
Dire "on va accepter cette assertion tellement notre intuition nous dit qu'elle est vraie (par exemple : toutes les diagonales d'un carré d'un quadrillage ont la même longueur)" me paraît plus pertinent.
Mais je crois qu'on ne se comprend pas de toute manière. -
On se comprend très bien.
Et oui, je l'ai dit plus haut ça : AB = DE car ce sont les diagonales de deux rectangles identiques.
Pour moi c'est simple : il faut être efficace, quitte à sacrifier un peu à la rigueur.
Appuyer là où ça fait mal, et non pas à côté.
Sinon nous allons tous disparaître.
Le processus est déjà entamé non ?
La rigueur ne vaut que lorsqu'elle peut être reconnue.
Dire "c'est évident" n'est pas forcément contraire aux mathématiques.
Cela peut être stratégique.
Et aussi, comme je l'ai dis plus haut,
une façon de remercier l'évolution qui nous a offert une assez bonne capacité d'appréhender l'espace.
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