Équation cartésienne

Bonjour Gebrane0
C'est juste un problème d'élimination des variables $(a,b,c)$ entre ces équations, la difficulté pour un débutant étant de ne pas tourner en rond.
$(abc)^2=1$, $x=\frac{\lambda}a$, $y=\frac{\lambda}b$, $z=\frac{\lambda}c$, $\lambda=\dfrac 3{\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}+\frac 1{c^2}}$
Je commence et je te laisse terminer:
$\lambda=\dfrac 3{\frac{x^2}{\lambda^2}+\frac{y^2}{\lambda^2}+\frac{z^2}{\lambda^2}}=\dfrac{3\lambda^2}{x^2+y^2+z^2}$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bravo Gebrane0!
Est-ce que tu dors de temps en temps?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir
C'était une question d'oral de concours quand j'étais taupin et il y avait intérêt à écrire l'équation de ce cylindre dans les délais les plus brefs !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

@gebrane: Et donc, pour caractériser un cyclindre, en plus de la direction des génératrices, il suffit de...

@pappus: Il fallait arriver assez vite à trouver ce cylindre, parce qu'il y avait quelques autres questions pour meubler la planche d'oral, comme déterminer le plan des contacts et calculer les volumes découpés par ce plan dans l'ellipsoïde,

Cordialement, Pierre

@Gabuzomeu. Certes. C'est bien pourquoi il n'est pas inutile de poser ce genre de questions dans un oral. Cela permet de trier entre "ceux qui voient" la propriété générale des plans de contact, "ceux qui ne voient pas" mais calculent les intégrales à toute vitesse... et voient après coup, et ceux à qui on va poser une question plus facile.

Cordialement, Pierre.

l'intersection du cylindre avec le plan z=0 donne une ellipse ( à calculer son aire). Puis on projette cette ellipse sur le plan x+y+z=1

Comment on projette ?

Mon cher Gebrane0
J'avoue n'avoir pas regardé tes calculs mais je te fais confiance.
Ce que je voulais souligner, c'est qu'autrefois l'équation d'un cône ou d'un cylindre circonscrit à une quadrique était une question de cours et qu'elle devait s'écrire instantanément.
Vérifie plutôt car je ne suis pas sûr de moi que nos équations sont les mêmes.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ah bon?
edit : ok c'est la définition en fait c'est çà?
edit 2 : Je pensais qu'on définissait un angle entre deux plans à partir des vecteurs directeurs de deux droites d'intersection avec un plan qui leur est orthogonal...?

Merci ! Je dormirai moins bête ! (J'ai de moins en moins de problèmes du coup)

Mon cher Gebrane0
Ta figure ne montre qu'un seul cône qui a deux nappes, il est vrai comme tout cône qui se respecte
Je crois que tu n'as pas bien compris la définition d'un cône!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir Gebrane0
Ce n'est pas la forme classique d'un cône connue de monsieur tout le monde qui compte mais sa définition mathématique et dans cette définition une génératrice du cône est une droite toute entière!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir Gebrane0
Nos équations devraient être proportionnelles, espérons le!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Félicitations : d'après Sage, vos deux expressions sont égales !

Bonne Nuit
Voici le traitement projectif.
L'équation homogène de la quadrique projective est:
$$x^2+2y^2+z^2-t^2=0$$
Un paramétrage homogène d'une génératrice du cône de sommet $(p:q:r:s)$ tangent à la quadrique est:
$$\lambda\mapsto (p+\lambda x:q+\lambda y:r+\lambda z:s+\lambda t)$$
L'équation aux $\lambda$ des points d'intersection de cette génératrice avec le cône est:
$$(p+\lambda x)^2+2(q+\lambda y)^2+(r+\lambda z)^2-(s+\lambda t)^2=0$$
c'est à dire:
$$(x^2+2y^2+z^2-t^2)\lambda^2-2(px+2qy+rz-st)\lambda+p^2+2q^2+r^2-s^2=0$$
La génératrice sera tangente si on a une racine double:
$$(px+2qy+rz-st)^2-(x^2+2y^2+z^2-t^2)(p^2+2q^2+r^2-s^2)=0$$
Si le sommet $(p:q:r:s)$ est à distance finie, $s\ne 0$
L'équation de la partie affine du cône s'obtient alors en déshomogénéisant:$s=t=1$ et on a:
$$(px+2qy+rz-1)^2-(p^2+2q^2+r^2-1)(x^2+2y^2+z^2-1)=0$$
Si ce sommet est à l'infini, alors $s=0$
L'équation de la partie affine du cône s'obtient en déshomogénéisant:$s=0$ et $t=1$ et on a:
$$(px+2qy+rz)^2-(p^2+2q^2+r^2)(x^2+2y^2+z^2-1)=0$$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quand j'étais taupin, on maniait les coordonnées homogènes sans savoir que nous faisions de la géométrie projective en dimension $1$, $2$ et $3$.
Aujourd'hui il reste la droite projective et les espaces vectoriels avec leurs coordonnées dont on a rien à cirer qu'elles soient homogènes. Les quadriques ont pratiquement disparu à part leurs noms et il reste les formes quadratiques et leurs signatures, encore heureux!
Quant au pauvre Gebrane0, il doit naviguer à vue entre les cônes et les cylindres affines.
Remarquez que mon paramétrage projectif de la génératrice affine est dans le cas du cône:
$$\lambda \mapsto (\dfrac{p+\lambda x}{1+\lambda}, \dfrac{q+\lambda y}{1+\lambda},\dfrac{r+\lambda z}{1+\lambda})$$
à comparer avec le paramétrage affine utilisé par Gebrane0:
$$\lambda\mapsto ((1-\lambda)p+\lambda x,(1-\lambda)q+\lambda y, (1-\lambda)r+\lambda z)$$

Mon cher Gebrane0
Non je ne connais pas de pdf sur ce sujet mais cela doit bien trainer sur la toile.
En tout cas, ce ne sont pas les livres qui manquent en français, par exemple les petits ouvrages de Samuel et de Sidler et surtout ceux en anglais.
Amicalement
[small]p[/small]appus