Sphères du 19.8.2017
Trois boules mutuellement tangentes sont posées sur le sol.
Les distances respectives des trois points de contact avec
le sol sont 75, 102 et 117.
L'espace délimité par les trois boules et le sol est-il suffisant pour
accueillir (merci Messieurs les Académiciens de 1694)
une sphère de diamètre 32 ?
Les distances respectives des trois points de contact avec
le sol sont 75, 102 et 117.
L'espace délimité par les trois boules et le sol est-il suffisant pour
accueillir (merci Messieurs les Académiciens de 1694)
une sphère de diamètre 32 ?
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Réponses
Le rayon de la petite sphère pourpre est
$$\frac{156683475}{182701}-\frac{49725}{182701}\sqrt{9197997} \simeq 32,\!16.$$
Autrement dit, le rayon optimal est légèrement supérieur à 32 (et pas 16) mais strictement inférieur à 34. Ledit rayon a été calculé avec le théorème de Soddy-Gosset en cherchant $R_4$ tel que
$$\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}\right)^2-3\left(\frac{1}{R_1^2}+\frac{1}{R_2^2}+\frac{1}{R_3^2}+\frac{1}{R_4^2}\right)=0,$$
avec $(R_1,R_2,R_3)=(75,102,117)$.
Edit: Rectification de deux fautes de frappe + ajout du code complet.
PS. J'ajoute quelques explications : une sphère de centre $(0,0,r)$ de rayon $r$, une de centre $(a,0,s)$ de rayon $s$, une de centre $(b,c,t)$ de rayon $t$. Les équations de l'idéal $I_1$ expriment que ces sphères sont tangentes extérieurement deux à deux. Les équations de l'idéal $I_2$ expriment que les points de tangence sont aux hauteurs prescrites.
Une dernière sphère de centre $(x,y,z)$ de rayon $z$. Les équations de l'idéal $I_3$ expriment que cette sphère est tangente extérieurement aux trois autres.
On sature l'idéal $I_1+I_2+I_3$ par rapport à $rst$ pour se débarrasser des solutions parasites avec $r,s,t$ nuls. On trouve les solutions réelles algébriques avec $a>0$, $c>0$.
PS2. @Math Coss : ton erreur est facile à trouver, tu as pris les cotes 75, 102 et 117 pour les rayons des sphères (erreur de lecture d'énoncé). Pour soland, je ne peux pas tracer son erreur puisqu'il n'a produit rien d'autre qu'un dessin sans information.
$$R_4=\frac{156683475}{730804}-\frac{49725}{730804} \, \sqrt{7005585}\simeq 34.3060772589902$$
et une figure très semblable à la précédente, que je ne reproduis pas.
Cela dit, je n'arrive pas à adapter la preuve de la relation de Descartes pour 5 sphères de rayon fini. Plus précisément, le code suivant ne répond pas en quelques minutes. Est-ce que le passage de 9 à 15 variables est insurmontable en termes de complexité ? ou est-ce qu'il y a une erreur ?
Calculs suivront ce 20 ou le 21.8
On voudra bien me pardonner les redites, s'il y en a.
Soit S$_i$ les trois sphères, c$_i$ leurs centres et $r_i$ leurs rayons.
Le plan vertical contenant c$_i$ et c$_j$ coupe la figure donnée en deux cercles tangents
de rayons $r_i$ et $r_j$ et une tangente extérieure commune. La distance des points de contact est
$2\sqrt{r_ir_j}$ . On trouve donc les rayons des sphères en résolvant
$$\begin{array}{rll}
2\sqrt{r_1r_2} &=75 & r_1=2925/68\\
2\sqrt{r_2r_3} &=102 \qquad\text{ce qui donne} \qquad & r_2= 425/13\\
2\sqrt{r_3r_1} &=117 & r_3=1989/25\\
\end{array}$$
Le théorème de Descartes-Beecroft-Soddy-Coxeter en dimension 3 donne, pour la petite sphère additionnelle de rayon $r_0$,
$$\begin{array}{c}
(0 + r_0^{-1} + r_1^{-1} + r_2^{-1} + r_3^{-1})^2 = 3\cdot(0^2 + r_0^{-2} + r_1^{-2} + r_2^{-2} + r_3^{-2}) \qquad\text{et} \\
r_0 = 49\,725(1651-840\sqrt{3})/609\,001 \approx 16.0097
\end{array}$$
L'adjectif "respectives" m'a fait lire comme ça :
La formulation des questions est un art difficile.