cours de probabilités destiné aux cpge

pascal · January 2014

Bonjour,
Je mets à disposition un cours de probabilités destiné aux cpge mpsi ou pcsi.
http://maths-univers.voila.net/denombrementsprobampsipcsi.pdf
Je n’enseigne pas dans ces classes mais j’ai longtemps enseigné en bcpst. Ce petit fascicule a été écrit en complétant mon cours de bcpst 1.
P. B.

Nîmes-man · January 2014

Merci pour ce partage.

Cidrolin · January 2014

Bonjour,

Cela semble un très bon cours, merci !

1) Dans l'ex 135 de la page 15 il y a un + en trop avec le $\R$

2) En haut de la page 16, il manque la fonction homographique dont on parle.

3) Page 27, prop 2 2 27 1. Je n'ai vu nulle part de convention pour $C_r^s$ avec $r<0$

4) Page 30 ex 236 lettres distinctes; et plus loin il y a un "e" en trop

Je poursuis ma lecture ...

Amicalement

Cidrolin

Fabien MAUREL · January 2014

Merci pour ce cours qui semble d'excellente qualité.

pascal · January 2014

Merci pour ces signalements. J'éditerai un fichier corrigé dans quelque temps. (Car je suppose qu’il y a d’autres coquilles.)

afk · January 2014

Je n'ai parcouru que tres superficiellement je dois l'avouer mais j'ai une question: pourquoi faire l'inégalité de Bienaymé-Tchebyckev mais pas celle de Markov?

D'une part celle de Markov est plus générale et plus simple (on peut la démontrer en sommant sur les omega mais elle résulte aussi en deux ligne du fait que $Z \geq a1_{Z\leq a}$ pour $Z$ positive et de la croissante de l'espérance). De plus elle permet de démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev tout aussi facilement $P(|Y-E[Y]| > \varepsilon ) = P( (Y-E[Y])^2 > \varepsilon^2)$ et on applique l'inégalité de Markov. On démontre de même des inégalités plus fines comme celle d'Hoeffding (C'est la méthode de Chernoff: on part de $P(Y-E[Y] > t ) = P(e^{Y-E[Y]}>e^t)$ puis application de Markov de l'indépendance etc... )

afk · January 2014

p. 39 ex 3.2.8, je ne sais si c'est l'énoncé ou l'illustration qui est trompeuse (domaine borné) auquel cas la probabilité cherchée vaut 1 et cela n'utilise même pas l'équiprobabilité.

Pour les probas conditionnelles, la notation $P_B(A)$ est absurde et n'est utilisée que dans le secondaire. Tous les probabilistes utilises $P(A|B)$ qui se lit naturellement "probabilité de $A$ sachant $B$".

Sur la formule de Bayes, pour moi c'est juste: $P(B|A) = P(A|B) \frac{P(B)}{P(A)}$. La formule que tu donnes ensuite s'en déduit via la formule des probas totales.

Sur l'espérance, je la définirais comme la valeur moyenne des valeurs prises par $X$. La formule $E[X] = \sum x P(X=x)$ n'en étant qu'une conséquence. Les propriétés de linéarités et de positivité/croissante de l'espérance sont à mon sens centrales. Et mériteraient d'arriver plus tôt dans le cours.

Enfin bon, je pinaille. Ça a du représenter un gros travail.

Guego · January 2014

afk a écrit:

Pour les probas conditionnelles, la notation $ P_B(A)$ est absurde et n'est utilisée que dans le secondaire. Tous les probabilistes utilises $ P(A\vert $ qui se lit naturellement "probabilité de $ A$ sachant $ B$".

On est d'accord, sauf que dans certaines sections (par exemple en prépa HEC), il est clairement spécifié dans le programme qu'on ne doit pas utiliser la notation $P(A|B)$, la seule notation autorisée étant $P_B(A)$.

christophe c · January 2014

afk a écrit:

Pour les probas conditionnelles, la notation $P_B(A)$ est absurde et n'est utilisée que dans le secondaire. Tous les probabilistes utilises $P(A|B)$ qui se lit naturellement "probabilité de $A$ sachant $B$".

Que les probabilistes l'utilisent est une chose, mais pour une fois ils ont "tort". C'est la notation $P(A|B)$ qui est incorrecte, ou à tout le moins vraiment maladroite.

Il y a déjà assez d'ambiguité comme ça dans les notations exotiques, choisies d'une spécialité à l'autre et là on parle de jeunes étudiants tout de même.

"P(truc)" désigne généralement l'image de "truc" par "P". Or $A|B$ n'est pas un objet mathématique se trouvant dans le domaine de $P$. Même si elle n'est pas parfaite (il vaudrait mieux un truc du genre $\phi(P,A,B)$) la notation $P_B(A)$ est préférable à $P(A|B)$

Nîmes-man · January 2014

Souvenir d'oral de Capes (je n'étais ni le candidat, ni l'examinateur, mais j'étais dans la salle comme spectateur -- les oraux sont publics).

Ça s'est passé il y a une dizaine d'années.

Examinateur : vous avez donné la notation $P(A|B)$ pour la probabilité de $A$ sachant $B$. En connaissez-vous une autre ?

Candidat : oui, $P_B(A)$.

Examinateur : quel est l'avantage de la notation que vous n'avez pas choisie ?

Candidat : je ne vois pas, ce sont deux notations, c'est un simple choix de convention.

Examinateur : la notation $P_B(A)$ est préférable sur le plan pédagogique car elle fait clairement apparaître que $P_B : A \mapsto P(A|B)$ est une probabilité.

Arnaud_G · January 2014

Nîmes-man > Je ne vois pas où l'examinateur voulait en venir ?

deufeufeu · January 2014

En MPSI je vois qu'on nous demande de faire $P_B(A)$ pour indiquer que $P_B$ est une probabilité, mais toutes les formules font référence à $P(A|B)$.

Sinon, pour ajouter mon grain de sel, une notation n'est pas qu'une convention d'écriture, c'est un pont tendu entre une notion mathématique et l'intuitif implicite attenant aux symboles pre-existants dans notre esprit.
Ici on a la notion de $A|B$ qui se lit $A$ tel que $B$, avec notre habitude d'ensemble par compréhension, et qui est une idée plus riche, à mon sens, que la notion $P_B$ qui nous renseigne sur un théorème : $A \mapsto P(A|B)$ est une probabilité, mais ne nous dit rien sur la nature intuitive de ce qu'est $P_B(A)$.

aléa · January 2014

Tout à fait d'accord avec deufeufeu

Examinateur : la notation $ P_B(A)$ est préférable sur le plan pédagogique car elle fait clairement apparaître que $ P_B : A \mapsto P(A\vert $ est une probabilité.

Cet argument serait valable si l'enseignement de probabilités au lycée laissait "clairement apparaitre" que P lui-même est une probabilité, je veux dire une application.

Après une petite génuflexion pour dire que $P$ est un objet mathématique, on s'empresse de l'oublier et P n'est plus qu'un raccourci d'écriture pour "probabilité de", hors de tout sens mathématique.

Pour filer la métaphore de deufeufeu, quoiqu'en disent les inspecteurs, une partie du pont a clairement été détruite.
Il faudrait dater l'anecdote qui est rapportée par Nimes-man, mais dans le contexte actuel, une telle réaction me semblerait, au mieux, de la nostalgie, au pire de l'hypocrisie.

Nîmes-man · January 2014

aléa a écrit:

Après une petite génuflexion pour dire que $ P$ est un objet mathématique, on s'empresse de l'oublier et P n'est plus qu'un raccourci d'écriture pour "probabilité de", hors de tout sens mathématique.

Actuellement, ou à l'époque des faits ?

Je pense que ça n'a pas dû beaucoup changer, mais c'est juste pour que ton message soit bien clair.

Edit : je viens de voir que tu avais modifié ton message en me demandant de dater les faits... mais je l'avais fait !

aléa · January 2014

A l'époque des faits, je ne saurais dire, je ne suivais pas suffisamment les programmes.

Aujourd'hui, vu que l'introduction aux probas est faite par l'approche fréquentiste et que le dénombrement a disparu, je ne vois pas ce qui pourrait rester de cet ordre là dans l'esprit des gamins.

Faire la différence entre l'objet mathématique et le monde réel, insister sur l'existence d'une modélisation n'a jamais été le fort des programmes de lycée (*), mais il y a longtemps, il y avait un certain respect de l'objet mathématique pour lui-même, ce qui fait que la notion était un peu sérieusement évoquée.

Aujourd'hui, les auteurs de programmes ont honte de présenter des objets mathématiques, l'enseignement de ces objets ne semblent plus légitimée que par les (hypothétiques) applications, donc ceux-ci passent à la trappe dès que possible.

(*) Par exemple même à l'époque des maths triomphantes, on n'aurait jamais appelé une probabilité d'un autre nom de P. Ca peut faire sourire, mais imaginez une classe où les fonctions doivent toujours s'appeler f et les inconnues x: il n'y a plus de maths. On n'en est pas très loin, d'ailleurs.

christophe c · January 2014

Bin moi chui po d'accord. C'est pas parce que "tout fout le camp"

que des notations invalides peuvent devenir valides. Je comprends ton argument, alea, qui dit "à côté d'autre chose et à cause de cet autre chose, ce n'est pas grave, c'est un détail", mais on discute sur une question de principe. Cela dit, la discussion est évidemment limitée par le fait qu'il s'agit de notations, donc de conventions; certes.

@DFF

dff a écrit:

Ici on a la notion de $A|B$ qui se lit $A$ tel que $B$

bin "A tel que B" renvoie plutôt à $A\cap B$ de toute façon, on n'en sort pas.

Je ne trouverais pas inintéressant, loin de là qu'on crée pour l'occasion une théorie des "A/B" (ie l'ensemble des couples (A,B) quotienté par le truc intelligent adapté) qui existe peut-être, mais alors n'est pas très popularisée, mais en attendant, "A|B" n'est pas considérable comme "un événement", même si on abrège (@alea) "P(truc)" par "probabilité de truc".

edit: pour être plus précis "proba de A sachant B" est plutôt du genre "[size=x-small](proba de A)[/size] sachant B" que du genre "proba de [size=x-small](A sachant [/size]" (parenthèses)

gb · January 2014

christophe c a écrit:

pour être plus précis "proba de A sachant B" est plutôt du genre "(proba de A) sachant B"

Je dirais même plus : «probabilité, sachant B,» de A.

aléa · February 2014

@cc: Effectivement, $A|B$ (je prononce $A$ sachant $B$) n'est pas un événement. Qui prétend le contraire ?
Est-ce qu'il y a confusion possible ? Oui, bien sûr, si on n'apprend pas son cours, mais d'un point de vue syntaxique il n'y a aucun clash de notation. En informatique, tu peux couramment avoir des fonctions qui prennent un nombre variable d'arguments.

Moi, ça ne me gène pas qu'on introduise deux secondes la notation $P_B$ pour mettre en lumière que c'est une probabilité. Je le fais dans mes cours. Mais au quotidien, on se rend vite compte que dans un calcul, la notation $P_B$ est très peu commode et conduit à des écritures horribles. Car dans la vraie vie du calcul des probabilités, $B$, ce n'est pas l'élégant $B$, mais le disgracieux $\{X=5,Y=4\}$ ( $\{X=5\}\cap\{Y=4\}$ pour les puristes)

pascal · February 2014

Bonjour,
Merci pour vos commentaires nombreux. Je n’ai pas beaucoup de temps avant les vacances de février mais j’en teindrai compte pour mettre à disposition une version plus définitive et avec moins de coquilles.
Concernant la remarque sur l’inégalité de Markov : je ne l’ai pas donnée ni utilisée dans le cours car elle n’est pas au programme en pcsi mais c’est vrai qu’après vérification elle est au programme de mpsi.
Le débat ouvert pour la notation des probabilités conditionnelles est très intéressant. Il me rappelle des questions que je me suis posées lors d’un changement de programme en prépa Hec. Etant prof de prépa je suis autant que possibles les notations du (ou des) programme(s). Elles changent suivant les années et les sections. Personnellement je préfère utiliser la notation $P_{A}$ (peut-être surtout par habitude). Actuellement le programme de pcsi (2013) que j’ai sous les yeux dit de donner les deux notations et, comme les élèves doivent pouvoir utiliser les sujets de leur section et des autres sections pour préparer les concours, il vaut mieux qu’ils connaissent les deux. L’ambiguïté est résumée dans cette citation du programme de ecs2 (programme de 2003) : « E(X/A) est l’espérance conditionnelle de X pour $P_{A}$ »
Pascal

christophe c · February 2014

@alea et aux défenseurs de $P(A|B)$. Je pense avoir compris vos raisons. Elles peuvent aussi être liées à des pratiques, pédagogiques ou intra-spécialité. Sur le principe, il m'a semblé utile de poster quelques remarques (justement, à cause des principes formels et des démonstrations automatiques, mais aussi pour la communication inter-spécialités)

discret · February 2014

Comme tous les collègues prof de prépa scientifiques, j'ai aussi écrit mon cours de proba pour cette année.

J'avoue plutôt rejoindre les positions d'Afk et d'Aléa : il me paraît absurde de faire Bienaymé-Chebyshev sans Markov (d'ailleurs, en reprenant mes livres de TC des années 70 -- collection Durrande, pour être précis -- , on trouve ces démonstrations franchement bien faites. C'est là que je me dis que j'ai bien fait de conserver ces bouquins...) et, comme mentionné par Afk, j'ai même prévu de traiter l'inégalité de Chernoff pour montrer comment, à partir de Markov, on peut aboutir à quelque chose de plus subtil.

Ce n'est certes pas explicitement au programme, mais ce n'est pas vraiment techniquement bien plus difficile que Bienaymé-Chebyshev. Avec des exos bien trouvés, on peut même comparer les deux.

kamer · July 2014

IL n'est plus disponible

discret · July 2014

J'ai effectivement traité l'inégalité de Chernoff, en fin d'année de PCSI. La démonstration est certes plus longue que celle de Bienaymé-Chebyshev, mais pédagogiquement plutôt instructive.

Elle nous a, de plus, permis de faire des exos sympas, comme par exemple
$$\sum_{k=0}^{n/4} \binom{n}{k} < 1,92^n \quad \left( 4 \mid n \right).$$

did63 · July 2014

Il est où le cours sniffffffffffff

cours de probabilités destiné aux cpge

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Bonjour!

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