Corrections, "Cours de maths spéciales" Ramis
Bonjour à tous,
Conscient de l'existence d'autres livres d'exercices, je cherche désespérément les corrections des exercices du cours "Cours de Mathématiques spéciales" de RAMIS, DESCHAMPS, ODOUX.
Comme il s'agit d'un cours de référence, je suppose que de nombreux cours ont utilisés ces exos en TD, oraux (colles ?), et qu'à cet effet quelques solutions ont du être rédigés ! Je n'en trouve pourtant aucune sur le net...
Merci d'avances pour vos réponses, votre aide ou vos bonnes idées !
Conscient de l'existence d'autres livres d'exercices, je cherche désespérément les corrections des exercices du cours "Cours de Mathématiques spéciales" de RAMIS, DESCHAMPS, ODOUX.
Comme il s'agit d'un cours de référence, je suppose que de nombreux cours ont utilisés ces exos en TD, oraux (colles ?), et qu'à cet effet quelques solutions ont du être rédigés ! Je n'en trouve pourtant aucune sur le net...
Merci d'avances pour vos réponses, votre aide ou vos bonnes idées !
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Réponses
Une idée serait de s'y coller collectivement ici. De mémoire certains exos sont plutôt du genre brutal qui fait pas de prisonniers.
Je vois bien quelqu'un qui serait intéressé, mais il est occupé ailleurs...
e.v.
Regarde ton mail. Bye.
Merci d'avance
Moi aussi je suis intéressé si ça ne vous dérange pas !
Merci beaucoup.
Fred
Un projet commun serait une super initiative !
Malheureusement, je suis encore loin d'avoir le niveau...
Ici, tu te lances et il y a toujours1 des fous qui te suivent. Ce fil m'a l'air convenable pour débuter. En revanche il me semble judicieux de prévoir un fichier .tex/.pdf par chapitre.
Alors ? Fou Demain ?
e.v.
1 C'est pas vrai, il y aussi des folles !
Le cours Deschamps/Warusfel éd 1999 contient les corrigés des exercices, lesquels ont été peut-être repris du Ramis.
A+
1.02. — Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On définit par récurrence
les deux suites $(x_n)_{n\in\N}$ et $(y_n)_{n\in\N}$ par~: $x_0 = a$, $y_0 = b$, et pour $n\in\N$ :
$$x_{n+1} = \dfrac{x_n^2}{x_n+y_n}\qquad \textrm{ et } \qquad y_{n+1} = \dfrac{y_n^2}{x_n+y_n}.$$
\'Etudier ces deux suites et en déduire l'étude de la suite $(p_n)_{n\in\N}$ définie par :
$$p_n = (1+k)(1+k^2)\ldots\left(1+k^{2^n}\right) \qquad 0 < k < 1.$$
Je sais traiter les deux questions séparément, mais pas déduire la seconde de la première.
amicalement,
e.v.
Merci à la vigilance de Blueb.
Merci Siméon !!
e.v.
Tome 1, chapitre 4 (modules et espaces vectoriels), exercice 1
"Soient $M$ et $N$ deux sous-modules d'un même module. Montrer que $(M+N)/N$ est isomorphe à $M/(M \bigcap N)$."
Pouvez-vous me dire si ma correction est correcte :
on considère l'injection $j : M \longrightarrow M+N$ définie par $j(x)=x$ et la surjection canonique $\varphi : M+N \longrightarrow (M+N)/N$. Comme $j$ et $\varphi$ sont des applications linéaires, $\varphi \circ j$ est une application linéaire.
- Montrons que $Ker \varphi \circ j = M \bigcap N$ :
Clairement $Ker \varphi \circ j \subset M$ et si $x=j(x) \in Ker \varphi \circ j$ alors $\varphi (x)=x + N=N$ donc $x \in N$. D'où $Ker \varphi \circ j \subset M \bigcap N$.
$M \bigcap N \subset N=Ker \varphi \circ j$.
Ainsi, $Ker \varphi \circ j=M \bigcap N$.
- Montrons que $\varphi \circ j$ est surjective :
Soit $y \in (M+N)/N$. Il existe $(m,n) \in M \times N$ tel que $y=m+n+N=m+N$ car $n \in N$ qui est un module. On a donc $y=(\varphi \circ j)(m)$ avec $m \in M$. Ainsi, $\varphi \circ j$ est surjective.
D'après la décomposition canonique d'une application linéaire, on en déduit que $M/Ker(\varphi \circ j)$ est isomorphe à $Im(\varphi \circ j)$ i.e. que $M/(M \bigcap N)$ est isomorphe à $(M+N)/N$.
Tout commentaire est le bienvenu !
L'exercice 2 tome 1, même chapitre (modules et espaces vectoriels) je n'arrive pas à le faire par contre.
Notons \(\pi \colon E \to E/u(E)\) la surjection canonique. Il s'agit de vérifier qu'en posant \((\Phi(w))(x) = w(\pi(x))\) pour tous \(w\in L(E/u(E), \ker u)\) et \(x \in E\) on définit une application linéaire (quasi immédiat) \(\Phi \colon L(E/u(E), \ker u) \to C_u\) qui est un isomorphisme (application du théorème de factorisation).
La surjectivité vient du fait que pour tout $y \in E, \, y=(Id_{E}+v)(y-v(y))$ et l'injectivité vient du fait que si $x+v(x)=0$ alors $x=-v(x) \in Im(v) \subset M \subset Ker \, v$ donc $v(x)=0$ puis $x=0_{E}$. Je poursuis mes recherches pour la fin de l'exercice.
En tout cas, je ne saisis pas du tout l'intérêt de l'exo (ou plutôt je passe totalement à côté...).
Je relance cette ancienne discussion avec un exercice du [large]R[/large]amis [large]O[/large]doux Deschamps Tome 1 algèbre.
Je voulais savoir si ma solution était correcte, merci à ceux qui prendront le temps d'y réfléchir.
Cordialement,
Spontanément, j'aurais invoqué la compacité de l'intersection de la sphère unité avec l'ensemble des vecteurs positifs et le théorème de Brouwer. Le problème, c'est qu'il n'est peut-être pas au programme...
Je suppose qu'il existe une valeur propre complexe (cela est toujours vraie puisque E est R^n) et ensuite par l'égalité je trouve 1.
Soit $(e_i)$ la base canonique et $M$ la matrice de $u$ dans cette base.
On vérifie que tous les $e_i$ sont positifs de norme $1$ donc les vecteurs $u(e_i)$ sont positifs de norme $1$ et ainsi, si on note $U=\sum_i e_i$, on a $^tMU=U$ et donc $1$ est dans le spectre de transposée de $M$, puis est dans le spectre de $M$, donc de $u$.
Dit autrement, la matrice $^tM$ est stochastique.
Merci side pour cette solution qui est beaucoup plus élégante !
J'ai un fils en prépa et j'ai conservé les RDO et AF de mes années de spé d'il y a 30 ans. Comme beaucoup de monde ici visiblement, j'aimerais savoir si il existe un site où des .pdf qui offrent les corrigés des exercices des manuels de cours (ce qui m'a bien manqué il y a 30 ans !).
Merci beaucoup,
Cordialement
on y trouve certaines solutions des RDO cours de mathématiques spéciales
Algèbre
Analyse tome 1
Analyse tome 2
De toute façon, ce n'est pas une très bonne idée de travailler avec des corrigés pour progresser en maths. On risque de survoler sans comprendre en profondeur.
C’est mieux que rien.
Ou bien, tout lien en rapport avec ces auteurs et leurs propositions d'exercices, problèmes !
Merci,
Bonne journée, cordialement!
Anna E