agreg externe 2013 (Algèbre)

Bon, ben c'est parti, rendez vous à 16h30

J'ai bien aimé le sujet, la prochaine fois, j'irais sans la fièvre, mais c'était un sujet agréabl, et la salle était surchauffée exactement comme il faut pour quand on et malade. Ya des gens qui vont penser que je suis pistonné, depuis 10 ans que je passe l'externe c'est la première fois que je ne viens pas en short, et c'est la première fois que la salle est chauffée à l'avance.

Sinon, I,1 c'était du cours ou presque, : écrire $B(A(v))=B(\lambda v)=\lambda B(v)$ et conclure que $B(v)$ est un vecteur propre de $A$

I,2 utiliser I,1 et détailler la restriction de M sur les espaces propres

I,3 a) exprimer $C(e_k)$ et déduire de $C(e_k)=e_{k+1}$ que $C^k(e_1)=e_{k+1}$ puis exprimer n'importe quel vecteur sur la base des $(e_k)$
conclure dans le cas de $M(e_1)$

I,3 b) si $CM=MC$ alors $C^kM=MC^k$ et écrire que $Me_j=MC^{j-1}e_1=C^{j-1}Me_1$ passer le $C^{j-1}$ dans le sigma et obtenir :
$$\forall k\in [1;n] Me_k = \sum_{i=1}^nb_iC^ie_k$$
c'est à dire
$$M=\sum_{i=1}^nb_iC^i$$
pour la première inclusion. De plus on sait de $\mathbb{K}[A]$ est incluse dans le commutant de $A$, d'où l'égalité.

1.4 j'ai un peu galéré et je ne suis pas content de ce que j'ai fait, je suis passé par le polynôme caractéristique de $A$ et par une extension de $\mathbb(K)$ pour diagonaliser $A$, ou si le poly était scindé à racine simples, mais dans le cas d'une transvection je suis revenu à une base avec un vecteur propre, bref très compliqué, je n'ai pas encore réfléchi mais on doit faire bien plus simple.

Si tu as un espace propre c'est que tu as des vecteurs propres... on ne dit rien de plus.

Partie B
1 a)
j'ai d'abord montré l'équivalence ii et iii en exhibant une matrice de passage (matrice diagonale avec coeffs 1 et $\lambda^{-1}$ : $\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & \lambda^{-1}
\end{pmatrix}$)

ii implique i en utilisant que le polynome caractéristique est un invariant de similitude et que le rang de $P^-1MP - I_2$ est le rang de $P^-1(M-I_2)P$ (deux matrices semblables ont même rang)

i implique ii se faisait de manière assez bourine : $M \neq I_2$ et rang($M-I_2$) = 1 implique qu'il y ait un vecteur propre $u$ pour la valeur propre 1, on complète en une base avec $v$ et $M(v)=\alpha u + \beta v$
on trouve facilement que $\beta=1$ en utilisant le determinant de M qui est invariant par changement de base et doit valoir 1 pour une transvection (par le caractéristique) et on a $\alpha \neq 0$, sinon $M=I_2$

Pour le 2 on écrit $M=M^{-1}$ avec $det(M)=1$ et on a directement $a=d$ $-b=b$ $-c=c$ $d=a$ et si la caractéristique est différente de 2 : $a=d$ avec $a^2=1$ et $b=c=0$

en caractéristique 2 comme $1=-1$ toutes les symétries sont dans $SL_2(\mathbb{K})$ et pour $\mathbb{K}=\mathbb{F}_2$ on a $SL_n=GL_n$

Pour le 3 on se rapelle que les $T_{12}(\lambda)$ engendrent $SL_n$ et donc en particulier un élément du centralisateur doit commuter avec tous les $T_{12}(1)$

Or si $M$ est un de ces éléments et qu'il a un coefficient non diagonal $m_{i,j}$ non nul, il suffit de former $T_{ji}M$ et $MT_{ji}$ pour se rendre compte que le coefficient diagonal en $i,i$ ou en $j,j$ est différent pour les deux produits, et $M$ n'est pas dans Z.

$M$ est donc diagonale, et si elle a deux coefficient diagonaux distincts $m_{ii} \neq m_{jj}$ il suffit encore de former $T_{ij}M$ et $MT_{ij}$ pour voire que le coefficient non diagonal en $i,j$ est différent.

Conclusions les homothéties forment le centralisateur. (car elle sont centrales).

Le centre de $SL_n$ étant inclus par définition dans son centralisateur, il est composé des homothéties de déterminant 1 donc toujours de l'identité, et des racines nièmes de l'unité qui sont dans $\mathbb{K}$

pour le 4a on exhibe à la main un commutateur non trivial, par exemple $T_{21}T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}^{-1}$, avec un bon $\lambda$ et un produit par bloc.

le 4b est simplement l'application du théorème 0 et du résultat rappelé dans l'énoncé que de groupe dérivé est distingué.

@sebmagic caractéristique 2 n'est pas forcément $\mathbb{F}_2$

@sebmagic, oui en effet, ne serait-ce que pour se clarifier les idées (en tout cas c'est ce que j'ai fait)

En effet, et ça ne marche que parce qu'on est en dimension assez petite pour avoir la totalité des invariants de similitudes avec le minimal et le caractéristique.
p.s.

T'as oublié $La\Tau e \Chi $

@Baggins, ne te frappes pas, moi, j'ai carrément loupé l'argument, et je suis parti dans des extentions de corps (de degré 2) pour pouvoir scinder le polynôme, pour au final régler juste les cas triviaux et finir à la main la transvection -<8-S