Les défis mathématiques du Monde, épisode 1

nicolas.patrois · March 2013

Avez-vous tenté le premier défi du Monde ?
La première question est facile, la seconde aussi.

Steven Neutral · March 2013

Episode 1 par Cédric Villani.

Je n'ai pas d'infos sur l'idée de ces défis mathématiques... à quel niveau ça s'adresse ?

vanilla-sky · March 2013

Un défi du monde pour les amateurs de chiffres ! un nombre palindromique est un nombre qui peut se lire dans les deux sens. par exemple:
18881 71517 123454321

Les nombres palindromiques a 2 chiffres sont 11 22 33 44 55.... 99
Il y a donc 9 palindromes a 2 chiffres
ceux a trois chiffres : il suffit d'insérer un nombre entre chaque nombre palindromique a 2 chiffres
101 111 121 ... 191
202 212 292
il y a donc 90 palindromes a trois chiffres !
la distance entre 11 et 22 est 11 , la distance entre 33 et 44 est 11. la distance entre 11 et 33 est 22. la distance minimale est donc 11.

Question : combien y a t il de palindromes a 351 chiffres ? Quelle est la distance minimale entre deux palindromes de 351 chiffres ?

Raymond Cordier · March 2013

Alors si j'ai bien compris, le problème consiste à touver le nombre de nombres à $n$ chifres dans le système de numération décimale, ne commençant pas par $0$, et qui sont des palindromes. Bon, ce n'est pas nouveau-nouveau, nous avions posé cela dans "Le petit Archimède" numéro 21-22, octobre 1975, solution dans le numéro 24, février 1976, ça nous rajeunit pas, disait mon oncle Emile.

La méthode de vanilla-sky est très belle pour passer des palindromes à $2n$ chiffres aux palindromes à $2n+1$ chiffres, en insérant un chiffre au milieu.

Un palindrome à $2n+1$ chiffres est déterminé par ses $n+1$ premiers chiffres, lesquels peuvent être librement choisis, le premier n'étant pas $0$. Le nombre de ces palindromes est donc le nombre de nombres à $n+1$ chiffres, ne commençant pas par $0$, c'est donc : $9\cdot 10^{n}$.

Toujours si j'ai bien compris, il y a une autre question, c'est la distance minimum entre deux tels nombres palindromiques. Je présume que la distance entre deux nombres quelconques est définie comme la valeur absolue de leur différence. A bisto de nas, je dirais que cette distance minimum est : $10^{n}$.

Alors, ai-je gagné la possibilité de participer aux éliminatoires conduisant au tirage au sort d'un DVD d'un film âgé de 12 ans, quand Russel Crowe était jeune ? Ou bien faut que je souscrive un abonnement de 10 ans à l'imMonde, que je finance déjà par mes impôts ?

Bonne journée.

RC

tenuki · March 2013

Raymond Cordier écrivait:
> Toujours si j'ai bien compris, il y a une autre
> question, c'est la distance minimum entre deux
> tels nombres palindromiques. Je présume que la
> distance entre deux nombres quelconques est
> définie comme la valeur absolue de leur
> différence. A bisto de nas, je dirais que cette
> distance minimum est : $10^{n}$.

9000....0009-8999...9998 doit te contredire.

Kokolitox · March 2013

@tenuki : l'exemple que tu donnes n'est pas la distance minimale. En effet, pour n=3 par exemple, 909 - 898=11 est plus grand que 919 - 909=10.

Raymond Cordier · March 2013

Je n'ai pas rédigé une preuve complète, c'était seulement un heuristique, comme j'ai dit. Mon idée est de prendre le plus de chiffres communs à gauche, et donc à droite, en sorte que le seul chiffre différent soit le choiffre central. Mais cela ne tient pas compte de ces fichues retenues, et ce n'est donc pas prouvé.
Bonne journée.
RC

AD · March 2013

Je viens de cacher un certain nombre de messages, sans rapport avec la question posée, et qui amenaient le fil à déraper.
AD

AitJoseph · March 2013

Bonjour

Quel est le jour où les journaux le Monde et le Figaro publient leurs défis.

Merci

JLT · March 2013

A propos de maths dans Le Monde :

http://www.lemondeestmathematique.fr/ouvrages.php

Mister M. · March 2013

Bonjour,
Il s'agit de palindromes donc il suffit de s'occuper de E(n/2) nombres. Par une recurrence immediate on a qu'il ya 9*10^(E(n/2)) (voir cas particulier E()-1) palindromes à exactement n chiffres. Avec E(x) la fonction partie entière.
De même on a 10^E(n/2) pour la difference minimale.
Ici, la puissance est 175

Makhtar

Toto.le.zero · March 2013

Si $n$ est pair, il y a $9 \times 10 ^{ \frac{n}{2} - 1 }$ palindromes à $n$ chiffres. (Le premier chiffre ne pouvant être zéro, il n'y a que neuf possibilités. Il reste ensuite à choisir les $\frac{n}{2} - 1$ chiffres suivants).

Si $n$ est impair, il y a $9 \times 10^{E(\frac{n}{2})}$ palindromes à $n$ chiffres (même raisonnement que précédemment sauf qu'il faut aussi choisir le chiffre du milieu parmi 10 possibilités).

Toto.le.zero · March 2013

Tiens, une chose amusante que je viens de noter: pour tout entier naturel $k$, il y a autant de palindromes à $2k$ chiffres que deux palindromes à $2k+1$ chiffres.

did63 · March 2013

Pas trop dur comme défi, résolu en 1 minute et je suis très très loin d'être un surdoué.....Il a dû résoudre des question plus difficiles ou alors 99 ,9% des participants à ce forum peuvent postuler à la médaille Fields

Aurel80 · March 2013

soit D(n) la distance mini entre 2 nombres palyndromiques a n chiffres :

D(n) = min (11, D(n-1)*10)

En effet:

La distance mini entre les palyndromes a n chiffres commencant et finissant par le meme chiffre est egale a D(n-1)*10
La distance mini entre 2 palyndromes a n chiffres commencant et finissant par un chiffre different est egale a 11

Comme D(1)=1 et D(2)=10 alors D(3)=11,...., D(351)=11

NULLISSIME. · March 2013

Bonsoir,
j'aimerais épater mes amis !!!!
Nous sommes nuls en math mais nous sommes tombés sur ce problème à résoudre...
Quelqu'un, parmi vous, aurait-il la gentillesse de donner la réponse avec une explication "correcte", plausible et compréhensible pour des novices.
genre :
1/
2/
3/
= XXX

Un bon dîner est en jeu !!

Jeanbar · March 2013

1°) Un nombre palindromique ayant un nombre impair de chiffres s’exprime comme 432(0)234 en représentation décimale (exemple à sept chiffres).
Le chiffre entre parenthèses est le pivot.
Comme le nombre est palindromique, le groupe des 3 chiffres les plus à gauche, ainsi que le pivot, déterminent le nombre de pamindromes à sept chiffres.
- le chiffre le plus à gauche du groupe avant le pivot ne peut prendre que des valeurs de 1 à 9 (il n’y a pas de nombre commençant par zéro)
- les chiffres suivants du groupe avant le pivot peuvent prendre des valeurs de 1 à 10
- le pivot peut prendre des valeurs allant de 1 à 10
Donc le nombre de nombres palindromiques à 7 chiffres est : 9x10x10x10 = 9x10^3 (neuf, dix puissance 3 car 7 = 2x3+1)
De proche en proche, on détermine que le nombre de nombres palindromiques à 351 chiffres est = 9x10^175 (neuf, dix puissance 175 car 351=2x175+1)

2°) Quelle est la différence minimale entre 2 nombres palindromiques à 7 chiffres (pour commencer) ?

Si je prends maintenant le nombre 9999999 et que je lui ajoute 1, je trouve 1000.0001 qui est palindromique mais il a 8 chiffres à cause de la retenue. Pour conserver les 7 chiffres, il faudrait que le chiffre le plus à gauche ne soit pas 9
- 8999999+1= 9000000 qui n’est pas palindromique à cause du chiffre des unités. Il faudrait touver un chiffre des unités « U » tel que
- U99999U+p = Q99999Q
o U+p = 10 + Q [1]
o U+1 = Q [2]
- En faisant la différence entre les 2 équations, [1] – [2], on élimine U et Q et on trouve p=11
Par exemple, 2999992+11=3000003 qui est bien un nombre palindromique.

On voit que ce principe de construction se généralise à n’importe quel nombre palindromique du fait que la retenue se propage de droite à gauche.

Invitez-moi pour le café,

NULLISSSIME · March 2013

Merci beaucoup !
Nous vivons à Rio... Difficile de vous offrir le café !
Merci encore.

AitJoseph · March 2013

Bonjour

La distance entre les palindromes: 191 et 181 est 10 et non 11.

peter sagan · March 2013

Franchement, tout le monde à l'air de prendre de haut ces problèmes... Or le deuxième (différence minimale entre deux palindromes) ne paraît pas si trivial !
En tout cas ma femme et moi (deux profs de maths) nous sommes trompés en le résolvant. On a mis à peu près 30 s ; on aurait sûrement dû réfléchir un peu plus...